Потенциал заряженной прямой

[warlock66613]

Теперь надо взять этот интеграл. Для начала можно сделать замену $l - z \to l$.

[realeugene]

follow_the_sun в сообщении #1430285 писал(а):

Не совсем понимаю, как прийти отсюда к ответу
$U(M)=q \ln(\dfrac{1}{\sqrt{r^2+z^2}-z})$

Кстати, ответ ошибочный: в нём под логарифмом сидит размерная величина. Близкий, но ошибочный. И обратите внимание, что в этой задаче в качестве нулевого потенциала брать потенциал на бесконечности нельзя.

[follow_the_sun]

warlock66613
Да, я понимаю, как его брать, просто меня смущает, что ответ не сходится)
realeugene
спасибо), там через предел по идее надо считать на бесконечности и эквивалентность. Еще ответ должен обязательно стремится к нулю при $r\to \infty $?

[realeugene]

follow_the_sun в сообщении #1430388 писал(а):

там через предел по идее надо считать на бесконечности и эквивалентность.

Нет, там можно получить потенциал только с точностью до константы. Потенциал на бесконечности обычно берут равным нулю в подобных задачах по соглашению, но потенциал бесконечной нити на бесконечности бесконечен, и принимать его равным нулю, очевидно, нельзя. (По Гауссу напряженность поля нити $\propto 1/r$.)

[follow_the_sun]

realeugene
а как тогда считать потенциал на бесконечности?

[realeugene]

follow_the_sun в сообщении #1430394 писал(а):

а как тогда считать потенциал на бесконечности?

В данной задаче он не существует. Бесконечная заряженная нить нефизична по куче причин. Ещё и её полный заряд бесконечен. Это приближение для некоторых случаев конечного расстояния от конечной нити.

[follow_the_sun]

realeugene
А с интегралом что делать?
$u(M)=\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{qdl}{\sqrt{(z-l)^2+r^2}}=\int\limits_{\infty}^{z}\dfrac{qd(z-l)}{\sqrt{(z-l)^2+r^2}}=(\ln|(z-l)+\sqrt{(z-l)^2+r^2}|)^z_{\infty}=-\infty$ какая-то фигня

[Утундрий]

Дальше нужно "какую-то фигню" оставить, а минус бесконечность выбросить.

[realeugene]

follow_the_sun в сообщении #1430401 писал(а):

А с интегралом что делать?

Почему в нём сохранилось $z-l$?
Это одна ошибка. Вторая ошибка - если интеграл в бесконечности расходится, то и интегрировать до бесконечности не нужно. А что нужно делать - тут вопрос более тонкий. Физически, нужно выбрать некоторую точку в качестве точки нулевого потенциала, например, на расстоянии $R$ в плоскости, перпендикулярной оси нити, проходящей через её конец. И интегрировать разность потенциалов относительно этой точки, создаваемую элементами нити.

-- 15.12.2019, 20:38 --

Утундрий в сообщении #1430404 писал(а):

Дальше нужно "какую-то фигню" оставить, а минус бесконечность выбросить.

А ещё не факт, что получится правильно, если просто "выбросить". Разность двух бесконечностей не обязательно равна нулю.

То есть, на самом деле, нужно аккуратно брать интеграл

$$\rho \int_0^\infty \left[\frac 1 {\sqrt{l^2+R^2}} - \frac 1 {\sqrt{(l-z)^2+r^2}}\right] dl$$

Причём, вычитание нельзя вынести из-под интеграла, так как оба получающиеся в результате интеграла бесконечны.

В качестве первого шага можно прибавить к подынтегральному выражению и вычесть из него $\frac 1 {\sqrt{l^2+r^2}}$, разбив интеграл на сумму двух более простых конечных интегралов.

[Утундрий]

realeugene
"Какая-то фигня" вполне конечна.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430411 писал(а):

"Какая-то фигня" вполне конечна.

"Вполне конечная фигня" никак не поможет справиться с бесконечностью выражения в бесконечной точке.

[Утундрий]

realeugene
И чем же это выражение "правильнее" любого другого, отличающегося от него на константу? Даже и на бесконечно большую.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430421 писал(а):

И чем же это выражение "правильнее" любого другого, отличающегося от него на константу? Даже и на бесконечно большую.

Тем, что если эта константа бесконечно большая, то её разность с собой при двух различных $z$ не обязана быть равна нулю.

[Утундрий]

Вы не на тот вопрос отвечаете. Ваша регуляризация точно так же как и простое отбрасывание расходящегося члена приводят к отличающимся на константу конечным выражениям. Что вас заставляет придавать одному из них статус более правильного?

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1430424 писал(а):

Вы не на тот вопрос отвечаете. Ваша регуляризация точно так же как и простое отбрасывание расходящегося члена приводят к отличающимся на константу конечным выражениям. Что вас заставляет придавать одному из них статус более правильного?

Физические соображения. Если, вообще, эта задача имеет осмысленное решение, то существует конечный потенциал в некоторой конечной области, градиент которого пропорционален напряженности поля в точке. Следовательно, разность потенциалов между двумя конечными точками можно интегрировать по вкладу от элементов нити точно так же, как и потенциал относительно бесконечности. Но интеграл для потенциала относительно бесконечности расходится при любом $z$, причём, не факт, что одинаковым образом. А интеграл разности потенциалов относительно конечной точки конечен и, поэтому, корректно определён.