2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 18:42 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Теперь надо взять этот интеграл. Для начала можно сделать замену $l - z \to l$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 18:43 


27/08/16
9426
follow_the_sun в сообщении #1430285 писал(а):
Не совсем понимаю, как прийти отсюда к ответу
$U(M)=q \ln(\dfrac{1}{\sqrt{r^2+z^2}-z})$
Кстати, ответ ошибочный: в нём под логарифмом сидит размерная величина. Близкий, но ошибочный. И обратите внимание, что в этой задаче в качестве нулевого потенциала брать потенциал на бесконечности нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 19:25 
Аватара пользователя


21/06/18
328
warlock66613
Да, я понимаю, как его брать, просто меня смущает, что ответ не сходится)
realeugene
спасибо), там через предел по идее надо считать на бесконечности и эквивалентность. Еще ответ должен обязательно стремится к нулю при $r\to \infty $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 19:34 


27/08/16
9426
follow_the_sun в сообщении #1430388 писал(а):
там через предел по идее надо считать на бесконечности и эквивалентность.
Нет, там можно получить потенциал только с точностью до константы. Потенциал на бесконечности обычно берут равным нулю в подобных задачах по соглашению, но потенциал бесконечной нити на бесконечности бесконечен, и принимать его равным нулю, очевидно, нельзя. (По Гауссу напряженность поля нити $\propto 1/r$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 19:55 
Аватара пользователя


21/06/18
328
realeugene
а как тогда считать потенциал на бесконечности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 19:55 


27/08/16
9426
follow_the_sun в сообщении #1430394 писал(а):
а как тогда считать потенциал на бесконечности?
В данной задаче он не существует. Бесконечная заряженная нить нефизична по куче причин. Ещё и её полный заряд бесконечен. Это приближение для некоторых случаев конечного расстояния от конечной нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 20:09 
Аватара пользователя


21/06/18
328
realeugene
А с интегралом что делать?
$u(M)=\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{qdl}{\sqrt{(z-l)^2+r^2}}=\int\limits_{\infty}^{z}\dfrac{qd(z-l)}{\sqrt{(z-l)^2+r^2}}=(\ln|(z-l)+\sqrt{(z-l)^2+r^2}|)^z_{\infty}=-\infty$ какая-то фигня

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Дальше нужно "какую-то фигню" оставить, а минус бесконечность выбросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 20:19 


27/08/16
9426
follow_the_sun в сообщении #1430401 писал(а):
А с интегралом что делать?
Почему в нём сохранилось $z-l$?
Это одна ошибка. Вторая ошибка - если интеграл в бесконечности расходится, то и интегрировать до бесконечности не нужно. А что нужно делать - тут вопрос более тонкий. Физически, нужно выбрать некоторую точку в качестве точки нулевого потенциала, например, на расстоянии $R$ в плоскости, перпендикулярной оси нити, проходящей через её конец. И интегрировать разность потенциалов относительно этой точки, создаваемую элементами нити.

-- 15.12.2019, 20:38 --

Утундрий в сообщении #1430404 писал(а):
Дальше нужно "какую-то фигню" оставить, а минус бесконечность выбросить.
А ещё не факт, что получится правильно, если просто "выбросить". Разность двух бесконечностей не обязательно равна нулю.

То есть, на самом деле, нужно аккуратно брать интеграл $$\rho \int_0^\infty \left[\frac 1 {\sqrt{l^2+R^2}} - \frac 1 {\sqrt{(l-z)^2+r^2}}\right] dl$$
Причём, вычитание нельзя вынести из-под интеграла, так как оба получающиеся в результате интеграла бесконечны.

В качестве первого шага можно прибавить к подынтегральному выражению и вычесть из него $\frac 1 {\sqrt{l^2+r^2}}$, разбив интеграл на сумму двух более простых конечных интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
realeugene
"Какая-то фигня" вполне конечна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 20:59 


27/08/16
9426
Утундрий в сообщении #1430411 писал(а):
"Какая-то фигня" вполне конечна.
"Вполне конечная фигня" никак не поможет справиться с бесконечностью выражения в бесконечной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
realeugene
И чем же это выражение "правильнее" любого другого, отличающегося от него на константу? Даже и на бесконечно большую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 21:14 


27/08/16
9426
Утундрий в сообщении #1430421 писал(а):
И чем же это выражение "правильнее" любого другого, отличающегося от него на константу? Даже и на бесконечно большую.
Тем, что если эта константа бесконечно большая, то её разность с собой при двух различных $z$ не обязана быть равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Вы не на тот вопрос отвечаете. Ваша регуляризация точно так же как и простое отбрасывание расходящегося члена приводят к отличающимся на константу конечным выражениям. Что вас заставляет придавать одному из них статус более правильного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал заряженной прямой
Сообщение15.12.2019, 21:26 


27/08/16
9426
Утундрий в сообщении #1430424 писал(а):
Вы не на тот вопрос отвечаете. Ваша регуляризация точно так же как и простое отбрасывание расходящегося члена приводят к отличающимся на константу конечным выражениям. Что вас заставляет придавать одному из них статус более правильного?
Физические соображения. Если, вообще, эта задача имеет осмысленное решение, то существует конечный потенциал в некоторой конечной области, градиент которого пропорционален напряженности поля в точке. Следовательно, разность потенциалов между двумя конечными точками можно интегрировать по вкладу от элементов нити точно так же, как и потенциал относительно бесконечности. Но интеграл для потенциала относительно бесконечности расходится при любом $z$, причём, не факт, что одинаковым образом. А интеграл разности потенциалов относительно конечной точки конечен и, поэтому, корректно определён.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group