Ограниченность оператора

[thething]

В задачнике Бородина, Савчука и Шейпака встретилась задача, на которой я встрял. Надо показать, что оператор ограничен. Оператор следующий: $Ax=(x_1,\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1+x_2+x_3}{3},...)$ в пространстве, например, $l_2$. У меня никак не идёт оценка для $\|Ax\|^2$. Неравенство Гёльдера приводит к константе, связанной с расходящимся гармоническим рядом. Если квадраты суммы расписать и оценить, получается также плохо. Натолкните, пожалуйста, на правильный путь.

[pogulyat_vyshel]

https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%27s_inequality

[thething]

pogulyat_vyshel
Спасибо Вам! Такого неравенства нигде ни разу не встречал.

[thething]

pogulyat_vyshel
Извините за наглость. Не натолкнёте на мысль, как показать, что оператор некомпактен? Точнее, какой способ тут можно использовать. У меня пока ничего не получается. Пробовал подбирать ограниченную последовательность, чтобы образы попарно отстояли на фиксированном расстоянии. Пробовал домножить на ограниченный некомпактный и получить некомпактный. Пока не пробовал вариант найти слабо сходящуюся последовательность, не переходящую в сходящуюся сильно. Спектры и теорию Фредгольма использовать нельзя, т.к. задача идёт раньше. Буду признателен хотя бы за правильное направление.

[g______d]

thething в сообщении #1429808 писал(а):

Пока не пробовал вариант найти слабо сходящуюся последовательность, не переходящую в сходящуюся сильно.

Вроде подходит $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(1,\ldots,1,0,0,\ldots)$ ($n$ единиц).

[Lia]

thething
Из запасников, мож, пригодится. «Оператор ограничен, не компактен»

[thething]

g______d
Спасибо, я посмотрю этот пример.
Lia
Вам тоже спасибо за информацию. А я не смог найти, хотя пытался)

[thething]

g______d
Если я правильно всё вычислил, то Ваша последовательность слабо не сходится и поэтому выводов о некомпактности оператора делать нельзя. Но она всё равно мне помогла, потому что из образов её элементов нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность (там покоординатная сходимость идёт к нулю, а по норме получается ограниченность снизу единицей), так что получается опровергнуть определение через отсутствие секвенциальной компактности образа.

На основе Вашего примера получилось даже подобрать контрпример к интегральному оператору того же типа в виде последовательности $\sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t)$. Ещё раз -- спасибо!

[g______d]

thething в сообщении #1429871 писал(а):

Если я правильно всё вычислил

А если нет?

[thething]

g______d в сообщении #1429886 писал(а):

А если нет?

Вполне вероятно. Я думал так: $\varphi(x_n)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}y_k$ (тут дальше я глупость написал). А разве откуда-то следует, что эта последовательность стремится к нулю? Я могу только её при помощи Штольца свести к пределу последовательности $\sqrt{n}y_n$... и -- что?

[g______d]

thething в сообщении #1429900 писал(а):

А разве откуда-то следует, что эта последовательность стремится к нулю?

Я обычно так делаю. Последовательность функционалов сходится слабо, если она:

1) Равномерно ограничена по норме (верно по построению).

2) Сходится на плотном множестве (легко проверить на конечных линейных комбинациях векторов из стандартного базиса).

Я всегда это называл теоремой Банаха-Штейгауза, но не все литературные источники со мной согласны.

В любом случае, это самому несложно доказать, с помощью $\varepsilon/3$-аргумента.

[thething]

g______d
Ага, это теорема Банаха-Штейнгауза, а я её совсем позабыл А "противоречие" получил, потому что выбирал функционалы зависящими от $n$, когда надо было использовать любой другой индекс.
Спасибо, всё получается.