Элементарные функции

[Padawan]

Промежуток любого вида (отрезок, полинтервал, интервал) обозначим как $\langle a,b\rangle$, $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$.
Пусть промежуток $\langle a,b\rangle$ разбит на конечное число промежутков: $\langle a,b\rangle=\bigcup_{i=1}^n \langle a_i,b_i\rangle$, $\langle a_i,b_i\rangle\cap \langle a_j,b_j\rangle=\varnothing$ при $i\neq j$. Докажите, что если функция $f(x)$ непрерывна на $\langle a,b\rangle$ и является элементарной на любом промежутке $\langle a_i,b_i\rangle$, то $f(x)$ является элементарной функцией на $\langle a,b\rangle$.

Upd. Промежутки должны быть отрезками,(кроме самого левого и самого правого), и соседние отрезки должны пересекаться по общей граничной точке. Я думал, что и в общем случае получится сконструировать формулу, но, похоже функция $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ при $x>0$ и $f(x)=1$ при $x\leqslant 1$ не является элементарной.

[mihaild]

Модуль не контрпример разве?

[Padawan]

$|x|=\sqrt{x^2}$

Padawan в сообщении #1429564 писал(а):

Upd. Промежутки должны быть отрезками,(кроме самого левого и самого правого), и соседние отрезки должны пересекаться по общей граничной точке. Я думал, что и в общем случае получится сконструировать формулу, но, похоже функция $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ при $x>0$ и $f(x)=1$ при $x\leqslant 1$ не является элементарной.

[Dendr]

Padawan в сообщении #1429564 писал(а):

Upd. Промежутки должны быть отрезками,(кроме самого левого и самого правого), и соседние отрезки должны пересекаться по общей граничной точке.

Тогда это лишнее:$\langle a_i,b_i\rangle\cap \langle a_j,b_j\rangle=\varnothing$ при $i\neq j$

А вот это чем плохо?
$f(x)=$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x, x\geqslant 0 \\ x, x<0 \\ \end{array} \right.$$

Впрочем, если модуль элементарен, то и хевисайд тоже... поэтому любую кусочно-непрерывную функцию можно превратить в элементарную. (да?) То есть, "кусочно-элементарную" тоже. Но доказательство ли это? Смутно подозреваю, что спецфункции все портят.

[Padawan]

Dendr в сообщении #1429656 писал(а):

Тогда это лишнее:$\langle a_i,b_i\rangle\cap \langle a_j,b_j\rangle=\varnothing$ при $i\neq j$

Да, лишнее. Соседние отрезки должны иметь общую граничную точку.

Хевисайд не элементарен. Элементарная функция непрерывна на любом промежутке, на котором она определена.

Элементарная функция-это функция, которую можно записать одной формулой, используя арифметические операции, и композицию основных элементарных функций.

[mihaild]

Dendr в сообщении #1429656 писал(а):

$f(x)=$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x, x\geqslant 0 \\ x, x<0 \\ \end{array} \right.$$

Это просто $\frac{3x + |x|}{2}$.
Padawan, я правильно понимаю, что формальное выражение не обязано быть всюду определено, но предел должен быть везде? Скажем $e^{-\frac{1}{x^2}}$ - элементарная, а $\frac{|x|}{x}$ - нет? А что с $(x + |x|) \cdot \log x$?

[Dendr]

mihaild в сообщении #1429688 писал(а):

Это просто $\frac{3x + |x|}{2}$.

Согласен-согласен. То же самое последним абзацем сказал - если модуль элементарен, то любой излом степенной функции тоже. Хевисайда я зря упомянул, конечно. (впрочем, это же производная от элементарной функции $\frac{x+|x|}{2}$, так что тут может быть долгое и бесполезное обсуждение) Захотел по-быстрому к кусочности перейти, но пойдем длинным путем.

Допустим, такая конструкция:
$\begin{cases} {e^x, x<0;}\\ {\cos(\pi x/2), 0\leqslant x\leqslant 1;}\\ {\ln(x)/x^2, x>1.} \end{cases}$
Со ступенькой $\theta (x)$ она, естественно, в одну строку запросто загоняется. Но как поизголяться, сведя именно к комбинации фукнций?

[Munin]

$\theta(x)\stackrel{\text{почти всюду}}{=}\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{|x|}{x}+1\bigr).$

[Sender]

Проблема в том, что надо всюду. Мне пока не очень понятно, например, как записать функцию вроде $f(x)=\begin{cases} 1,x<0\\ \ch x, x \geqslant 0\end{cases}$

[mihaild]

Выражение $\frac{f(x) \cdot (|x| - x) + g(x) \cdot (|x| + x)}{2|x|}$, где $f(0) = g(0) = 0$, считается законным? Слева от нуля это $f(x)$, справа от нуля это $g(x)$, в нуле предел $0$.

Если да, то научились склеивать в нуле две функции, равные там нулю. Дальше для каждой новой склейки сдвигаем точку в начало координат, склеиваем и сдвигаем обратно.

[Padawan]

Когда я говорю, что функция $f(x)$ элементарна на некотором промежутке $\langle a, b\rangle$, то я имею ввиду, что есть некоторая формула $\Phi(x)$, имеющее смысл для всех $x\in \langle a,b\rangle$ (как в школе, ОДЗ), и такая, что $f(x)=\Phi(x)$ для всех $x\in \langle a,b\rangle$.

mihaild в сообщении #1429705 писал(а):

Выражение $\frac{f(x) \cdot (|x| - x) + g(x) \cdot (|x| + x)}{2|x|}$, где $f(0) = g(0) = 0$, считается законным?

Нет. При $x=0$ оно не имеет смысла.

[Sender]

Идея такая. Допустим, есть 2 элементарные функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$, определённые в некоторой окрестности $U$ т. $x_0$, причём $f_1(x_0)=f_2(x_0)=y_0$. Если в т. $x_0$ функция $f_1(x)-y_0$ меняет знак, рассмотрим ф-ю $g_1(x)$, значение которой выберем из двух выражений $(1/2)(f_1(x)-y_0+|f_1(x)-y_0|)$ и $(1/2)(f_1(x)-y_0-|f_1(x)-y_0|)$ так, чтобы $g_1(x)=0$ при $x>x_0$. Если же в т. $x_0$ функция $f_1(x)-y_0$ не меняет знак, рассмотрим ф-ю $g_1(x)$, значение которой выберем из двух выражений $(1/2)(f_1(x)-y_0+(x-x_0)+|f_1(x)-y_0+(x-x_0)|)-(x-x_0)$ и $(1/2)(f_1(x)-y_0+(x-x_0)-|f_1(x)-y_0+(x-x_0)|)-(x-x_0)$ так, чтобы $g_1(x)=0$ при $x>x_0$. Аналогичным образом построим $g_2(x)$ так, чтобы $g_2(x)=0$ при $x<x_0$, $g_2(x)=f_2(x)-y_0$ при $x \geqslant x_0$. Тогда в некоторой окрестности т. $x_0$

$$g_1(x)+g_2(x)+y_0=\begin{cases}f_1(x),x<x_0,\\f_2(x),x \geqslant x_0\end{cases}$$

и функция $g_1(x)+g_2(x)+y_0$ элементарна (по построению).

[Padawan]

mihaild в сообщении #1429688 писал(а):

Скажем $e^{-\frac{1}{x^2}}$ - элементарная, а $\frac{|x|}{x}$ - нет? А что с $(x + |x|) \cdot \log x$

Это все элементарные функции. Просто я хочу, чтобы выражение было определено при всех $x $ из рассматриваемого промежутка. Например, я говорю, что $\frac{|x|}{x}$ не является элементарной функцией в интервале $(-1,1)$, просто потому что это выражение не является функцией в этом интервале (не определено в нуле).

-- Ср дек 11, 2019 17:10:15 --

Sender
Запишите Вашим способом функцию, например

Sender в сообщении #1429703 писал(а):

$f(x)=\begin{cases} 1,x<0\\ \ch x, x \geqslant 0\end{cases}$

[mihaild]

Padawan, так $e^{-\frac{1}{x^2}}$ не имеет смысла при $x = 0$. Если это элементарная функция на $\mathbb{R}$, то чем мой пример выше хуже?
Sender, это наверное сработает, только нужно еще фигурно доработать аргументы неактивных функций - а то если у нас есть $\frac{x}{\sin x}$ на $[1; 2]$, то полученное выражение не на всей прямой определено будет.

[Nik_Nikols]

Sender в сообщении #1429703 писал(а):

Проблема в том, что надо всюду. Мне пока не очень понятно, например, как записать функцию вроде $f(x)=\begin{cases} 1,x<0\\ \ch x, x \geqslant 0\end{cases}$

Пожалуйста:

$f(x)=\sh\left(\dfrac{x}{2}\right)\left|\sh\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+\dfrac{\ch(x)+1}{2}$