2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Элементарные функции
Сообщение10.12.2019, 20:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Промежуток любого вида (отрезок, полинтервал, интервал) обозначим как $\langle a,b\rangle$, $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$.
Пусть промежуток $\langle a,b\rangle$ разбит на конечное число промежутков: $\langle a,b\rangle=\bigcup_{i=1}^n \langle a_i,b_i\rangle$, $\langle a_i,b_i\rangle\cap \langle a_j,b_j\rangle=\varnothing$ при $i\neq j$. Докажите, что если функция $f(x)$ непрерывна на $\langle a,b\rangle$ и является элементарной на любом промежутке $\langle a_i,b_i\rangle$, то $f(x)$ является элементарной функцией на $\langle a,b\rangle$.

Upd. Промежутки должны быть отрезками,(кроме самого левого и самого правого), и соседние отрезки должны пересекаться по общей граничной точке. Я думал, что и в общем случае получится сконструировать формулу, но, похоже функция $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ при $x>0$ и $f(x)=1$ при $x\leqslant 1$ не является элементарной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение10.12.2019, 21:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Модуль не контрпример разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 06:07 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
$|x|=\sqrt{x^2}$

Padawan в сообщении #1429564 писал(а):
Upd. Промежутки должны быть отрезками,(кроме самого левого и самого правого), и соседние отрезки должны пересекаться по общей граничной точке. Я думал, что и в общем случае получится сконструировать формулу, но, похоже функция $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ при $x>0$ и $f(x)=1$ при $x\leqslant 1$ не является элементарной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 11:50 


02/04/18
240
Padawan в сообщении #1429564 писал(а):
Upd. Промежутки должны быть отрезками,(кроме самого левого и самого правого), и соседние отрезки должны пересекаться по общей граничной точке.

Тогда это лишнее:$\langle a_i,b_i\rangle\cap \langle a_j,b_j\rangle=\varnothing$ при $i\neq j$

А вот это чем плохо?
$f(x)=$\left\{
\begin{array}{rcl}
 2x, x\geqslant 0 \\
 x, x<0 \\
\end{array}
\right.$$

Впрочем, если модуль элементарен, то и хевисайд тоже... поэтому любую кусочно-непрерывную функцию можно превратить в элементарную. (да?) То есть, "кусочно-элементарную" тоже. Но доказательство ли это? Смутно подозреваю, что спецфункции все портят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 12:03 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Dendr в сообщении #1429656 писал(а):
Тогда это лишнее:$\langle a_i,b_i\rangle\cap \langle a_j,b_j\rangle=\varnothing$ при $i\neq j$

Да, лишнее. Соседние отрезки должны иметь общую граничную точку.

Хевисайд не элементарен. Элементарная функция непрерывна на любом промежутке, на котором она определена.

Элементарная функция-это функция, которую можно записать одной формулой, используя арифметические операции, и композицию основных элементарных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Dendr в сообщении #1429656 писал(а):
$f(x)=$\left\{
\begin{array}{rcl}
 2x, x\geqslant 0 \\
 x, x<0 \\
\end{array}
\right.$$
Это просто $\frac{3x + |x|}{2}$.
Padawan, я правильно понимаю, что формальное выражение не обязано быть всюду определено, но предел должен быть везде? Скажем $e^{-\frac{1}{x^2}}$ - элементарная, а $\frac{|x|}{x}$ - нет? А что с $(x + |x|) \cdot \log x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 14:34 


02/04/18
240
mihaild в сообщении #1429688 писал(а):
Это просто $\frac{3x + |x|}{2}$.

Согласен-согласен. То же самое последним абзацем сказал - если модуль элементарен, то любой излом степенной функции тоже. Хевисайда я зря упомянул, конечно. (впрочем, это же производная от элементарной функции $\frac{x+|x|}{2}$, так что тут может быть долгое и бесполезное обсуждение) Захотел по-быстрому к кусочности перейти, но пойдем длинным путем.

Допустим, такая конструкция:
$\begin{cases}
{e^x, x<0;}\\
{\cos(\pi x/2), 0\leqslant x\leqslant 1;}\\
{\ln(x)/x^2, x>1.}
\end{cases}$
Со ступенькой $\theta (x)$ она, естественно, в одну строку запросто загоняется. Но как поизголяться, сведя именно к комбинации фукнций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
$\theta(x)\stackrel{\text{почти всюду}}{=}\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{|x|}{x}+1\bigr).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 15:19 


14/01/11
2916
Проблема в том, что надо всюду. Мне пока не очень понятно, например, как записать функцию вроде $f(x)=\begin{cases} 1,x<0\\ \ch x, x \geqslant 0\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Выражение $\frac{f(x) \cdot (|x| - x) + g(x) \cdot (|x| + x)}{2|x|}$, где $f(0) = g(0) = 0$, считается законным? Слева от нуля это $f(x)$, справа от нуля это $g(x)$, в нуле предел $0$.

Если да, то научились склеивать в нуле две функции, равные там нулю. Дальше для каждой новой склейки сдвигаем точку в начало координат, склеиваем и сдвигаем обратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 15:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Когда я говорю, что функция $f(x)$ элементарна на некотором промежутке $\langle a, b\rangle$, то я имею ввиду, что есть некоторая формула $\Phi(x)$, имеющее смысл для всех $x\in \langle a,b\rangle$ (как в школе, ОДЗ), и такая, что $f(x)=\Phi(x)$ для всех $x\in \langle a,b\rangle$.

mihaild в сообщении #1429705 писал(а):
Выражение $\frac{f(x) \cdot (|x| - x) + g(x) \cdot (|x| + x)}{2|x|}$, где $f(0) = g(0) = 0$, считается законным?

Нет. При $x=0$ оно не имеет смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 16:03 


14/01/11
2916
Идея такая. Допустим, есть 2 элементарные функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$, определённые в некоторой окрестности $U$ т. $x_0$, причём $f_1(x_0)=f_2(x_0)=y_0$. Если в т. $x_0$ функция $f_1(x)-y_0$ меняет знак, рассмотрим ф-ю $g_1(x)$, значение которой выберем из двух выражений $(1/2)(f_1(x)-y_0+|f_1(x)-y_0|)$ и $(1/2)(f_1(x)-y_0-|f_1(x)-y_0|)$ так, чтобы $g_1(x)=0$ при $x>x_0$. Если же в т. $x_0$ функция $f_1(x)-y_0$ не меняет знак, рассмотрим ф-ю $g_1(x)$, значение которой выберем из двух выражений $(1/2)(f_1(x)-y_0+(x-x_0)+|f_1(x)-y_0+(x-x_0)|)-(x-x_0)$ и $(1/2)(f_1(x)-y_0+(x-x_0)-|f_1(x)-y_0+(x-x_0)|)-(x-x_0)$ так, чтобы $g_1(x)=0$ при $x>x_0$. Аналогичным образом построим $g_2(x)$ так, чтобы $g_2(x)=0$ при $x<x_0$, $g_2(x)=f_2(x)-y_0$ при $x \geqslant x_0$. Тогда в некоторой окрестности т. $x_0$ $$g_1(x)+g_2(x)+y_0=\begin{cases}f_1(x),x<x_0,\\f_2(x),x \geqslant x_0\end{cases}$$ и функция $g_1(x)+g_2(x)+y_0$ элементарна (по построению).

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 16:07 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
mihaild в сообщении #1429688 писал(а):
Скажем $e^{-\frac{1}{x^2}}$ - элементарная, а $\frac{|x|}{x}$ - нет? А что с $(x + |x|) \cdot \log x$

Это все элементарные функции. Просто я хочу, чтобы выражение было определено при всех $x $ из рассматриваемого промежутка. Например, я говорю, что $\frac{|x|}{x}$ не является элементарной функцией в интервале $(-1,1)$, просто потому что это выражение не является функцией в этом интервале (не определено в нуле).

-- Ср дек 11, 2019 17:10:15 --

Sender
Запишите Вашим способом функцию, например
Sender в сообщении #1429703 писал(а):
$f(x)=\begin{cases} 1,x<0\\ \ch x, x \geqslant 0\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Padawan, так $e^{-\frac{1}{x^2}}$ не имеет смысла при $x = 0$. Если это элементарная функция на $\mathbb{R}$, то чем мой пример выше хуже?
Sender, это наверное сработает, только нужно еще фигурно доработать аргументы неактивных функций - а то если у нас есть $\frac{x}{\sin x}$ на $[1; 2]$, то полученное выражение не на всей прямой определено будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение11.12.2019, 16:12 


14/11/08
73
Москва
Sender в сообщении #1429703 писал(а):
Проблема в том, что надо всюду. Мне пока не очень понятно, например, как записать функцию вроде $f(x)=\begin{cases} 1,x<0\\ \ch x, x \geqslant 0\end{cases}$


Пожалуйста:

$f(x)=\sh\left(\dfrac{x}{2}\right)\left|\sh\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+\dfrac{\ch(x)+1}{2}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group