Учебник геометрии Погорелова

[Mihr]

arseniiv,
тут дело прежде всего не в стандартном школьном курсе, а в геометрии как таковой. Нетривиально, мне кажется, то, что аппарат геометрии выходит в физической задаче практически на первый план, что преобразование подобия позволяет обойтись без длинных расчётов и свести решение задачи буквально к двум коротеньким строчкам. Может, для Вас это банальность, но для меня это было как-то неожиданно.
Или, возможно, я что-то сказал недостаточно ясно, раз Вы говорите про распределение заряда. Ещё раз: я подразумевал, что поверхностная плотность заряда - константа. И при преобразовании подобия она не изменяется. То есть, если мы равномерно растягиваем/сжимаем пластину в $k$ раз, её заряд при этом увеличивается/уменьшается в $k^2$ раз. Вообразите: при неизменной плотности заряда мы растягиваем пластину в $k$ раз. Пусть она мысленно разбита на элементарные площадки малого диаметра - каждая из этих площадок растягивается по обоим направлениям в $k$ раз, так что её заряд возрастает в $k^2$ раз, а расстояние от этой площадки до точки наблюдения - только в $k$ раз. Поскольку вклад этой площадки в суммарный потенциал прямо пропорционален величине заряда этой площадки и обратно пропорционален расстоянию от неё до точки наблюдения, то этот вклад увеличивается в $k$ раз. И это относится к каждой такой площадке. Значит, при данном преобразовании потенциал любой точки фигуры просто возрастает в $k$ раз. Таким образом, нужно просто сложить потенциалы четырёх вершин, а затем умножить результат на $\dfrac{1}{2}$. Это всё.

[arseniiv]

Mihr в сообщении #1429586 писал(а):

То есть, если мы равномерно растягиваем/сжимаем пластину в $k$ раз, её заряд при этом увеличивается/уменьшается в $k^2$ раз.

А я исходно представил, что заряд сохраняется, а мы «смотрим ближе». Если мы тогда например начнём растягивать пластину, на которой сидят точечные заряды, они не вырастут и не уменьшатся, и в этом случае верно, но для вашего способа, если бы попадались точечные заряды, их величины могли бы забыть подправить. Обе эти операции в какой-то мере разумны, но не сразу может быть очевидно, что произойдёт со всем остальным — что не изменится, что изменится.

UPD: немного пересказал.

[Munin]

Mihr в сообщении #1429558 писал(а):

Это, конечно, так - в общем случае. Однако порою встречаются и такие физические задачи, где математика служит не просто рабочим инструментом, но и источником идей. Вспомнилась сейчас вот такая задача

Мне кажется, вы возражаете не тому, о чём говорил я, и не в контексте всего данного обсуждения.

[Mihr]

Странно. Где здесь вообще возражение? Говорил о весьма редком случае.

Munin в сообщении #1429615 писал(а):

и не в контексте всего данного обсуждения

А у всех остальных сообщений есть единый контекст? Ладно, извините, пожалуйста.

[Munin]

Mihr в сообщении #1429624 писал(а):

А у всех остальных сообщений есть единый контекст?

Ну по крайней мере, у стартового сообщения, и у моего, отвечающего на него, как я надеюсь, есть. Критика школьного учебника геометрии Погорелова.

Извиняться лишнее.

В общем, задачу вы привели красивую, но как я понимаю, это совсем не та "геометрическая красота", о которой писал Винберг. "Та" - это скорее из области олимпиадных геометрических задач.