Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда

[mark2311]

Помогите пожалуйста разобраться с такой задачей.

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится. Сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ ?

Мои соображения. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится абсолютно, то вопрос легко решается. По необходимому признаку сходимости $\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n}|=0$, значит, начиная с некоторого номера $n$ будет $|a_{n}|<1$, следовательно $a_{n}^{2}\leq |a_{n}|$ и по признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ сходится.

Но я не могу доказать это утверждение в общем случае, когда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится, но не абсолютно, а условно.

[svv]

Если утверждение упорно не доказывается, имеет смысл предположить, что оно неверно и поискать контрпример.

[mark2311]

В том-то и дело, что я пытался и контрпример придумать. Но он никак не придумывается.

[Padawan]

Возьмите Демидовича и подряд проверяйте все ряды (не знакопостоянные, само собой).

[SiberianSemion]

mark2311, примеры расходящихся рядов можете привести?

[angor6]

Например, ряд с общим членом $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ сходится по признаку Лейбница. В то же время гармонический ряд расходится.

[gris]

как то было про ряд из кубов членов сходящегося ряда, что интереснее, так как кубы сохраняют знаки.

[Lia]

angor6
Предупреждение за публикацию полного решения половины задачи, неважно, верное или нет.