2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 11:32 
Помогите пожалуйста разобраться с такой задачей.

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится. Сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ ?

Мои соображения. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится абсолютно, то вопрос легко решается. По необходимому признаку сходимости $\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n}|=0$, значит, начиная с некоторого номера $n$ будет $|a_{n}|<1$, следовательно $a_{n}^{2}\leq |a_{n}|$ и по признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ сходится.

Но я не могу доказать это утверждение в общем случае, когда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится, но не абсолютно, а условно.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 11:44 
Аватара пользователя
Если утверждение упорно не доказывается, имеет смысл предположить, что оно неверно и поискать контрпример.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 12:07 
В том-то и дело, что я пытался и контрпример придумать. Но он никак не придумывается.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 12:11 
Возьмите Демидовича и подряд проверяйте все ряды (не знакопостоянные, само собой).

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 12:18 
Аватара пользователя
mark2311, примеры расходящихся рядов можете привести?

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение12.12.2019, 15:05 
Аватара пользователя
Например, ряд с общим членом $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ сходится по признаку Лейбница. В то же время гармонический ряд расходится.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение12.12.2019, 16:40 
Аватара пользователя
как то было про ряд из кубов членов сходящегося ряда, что интереснее, так как кубы сохраняют знаки.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение12.12.2019, 18:54 
 !  angor6
Предупреждение за публикацию полного решения половины задачи, неважно, верное или нет.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group