2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 11:32 


11/12/19
2
Помогите пожалуйста разобраться с такой задачей.

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится. Сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ ?

Мои соображения. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится абсолютно, то вопрос легко решается. По необходимому признаку сходимости $\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n}|=0$, значит, начиная с некоторого номера $n$ будет $|a_{n}|<1$, следовательно $a_{n}^{2}\leq |a_{n}|$ и по признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ сходится.

Но я не могу доказать это утверждение в общем случае, когда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится, но не абсолютно, а условно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 11:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Если утверждение упорно не доказывается, имеет смысл предположить, что оно неверно и поискать контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 12:07 


11/12/19
2
В том-то и дело, что я пытался и контрпример придумать. Но он никак не придумывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 12:11 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Возьмите Демидовича и подряд проверяйте все ряды (не знакопостоянные, само собой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение11.12.2019, 12:18 
Аватара пользователя


24/03/19
147
mark2311, примеры расходящихся рядов можете привести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение12.12.2019, 15:05 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
Например, ряд с общим членом $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ сходится по признаку Лейбница. В то же время гармонический ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение12.12.2019, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
как то было про ряд из кубов членов сходящегося ряда, что интереснее, так как кубы сохраняют знаки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из квадратов общего члена сходящегося ряда
Сообщение12.12.2019, 18:54 


20/03/14
12041
 !  angor6
Предупреждение за публикацию полного решения половины задачи, неважно, верное или нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group