Парадокс обмена

[Sicker]

sergey zhukov в сообщении #1427782 писал(а):

Откуда следует, что когда я приписываю оппоненту $2^{N+1}$, то и он сам так думает?

Мне кажется надо было уточнить - оппонент воображаемый, а не тот с которым мы играем (т.к. мы применяем рекурсию к тому же)

sergey zhukov в сообщении #1427782 писал(а):

Мы оба можем думать, что у каждого $2^N$, а у оппонента $2^{N+1}$ и обмен выгоден обоим. Кто-то из нас не прав, но заметить этого самостоятельно он не может.

Вы просто не поняли моих рассуждений, давайте рассмотрим простой пример. Пусть у нас регенерируется конверт с $1$ или $2$ рублями, потом генерируется конверт в котором денег в два раза больше, и эти конверты рандомно раздаются игрокам. Несмотря на ограничение сверху и снизу, рассуждения как в стартовом после можно провести для суммы равной $2$, т.к. у оппонента равновероятностно $4$ или $1$, т.е. обмен выгоден. Теперь применяем мои рассуждения - если у меня на руках $2$ рубля, то мне выгодно меняться, если у оппонента $4$, но если у него $4$ и мы оба знаем что это максимальная сумма, то меняться ему не выгодно, и он не будет меняться, а меняться он будет только в случае когда у него $1$, что нам невыгодно. Отсюда заключаем, что меняться имея на руках $2$ невыгодно. При этом если у нас на руках $1$ рубль, то нам меняться выгодно, но т.к. у оппонента $2$ рубля, то он рассуждая так же меняться не будет. Для случай больших $N$ можно применить индукцию.

sergey zhukov в сообщении #1427782 писал(а):

Тут еще нужно учесть, что игроки в исходной постановке вообще не задумываются осуществовании ограничения $N$. Оно не подразумевается.

Без него задача становится бессмысленной, т.к. равновероятностное распределение на вещественной прямой не определено, и ведет к парадоксам наподобии этого.

sergey zhukov в сообщении #1427782 писал(а):

Если бы игроки знали значение $N$ или просто знали, что конечное ограничение $N$ существует, они не могли бы так просто рассуждать "у него равновероятно $x$ или $2x$", но подумали бы сначала, что "у него $x$" - это всегда возможно, но "у него $2x$" - это уже может быть просто невозможно, учитывая конечный $N$.

Может быть невозможно, но самое главное в том что такое может быть возможно, тогда обмен увеличит матожидание выигрыша

-- 27.11.2019, 03:02 --

EUgeneUS в сообщении #1427784 писал(а):

Однако, каждый из игроков самостоятельно может заметить, что делая такие предположения, он делает какие-то ничем не обоснованные предположения о процедуре подготовки конвертов.

А какая у вас процедура подготовки конвертов? У меня - самая обычная, описанная в посте выше

-- 27.11.2019, 03:02 --

sergey zhukov в сообщении #1427802 писал(а):

Да, я бы так сказал: игрок считает, что если разыгрывается бОльшая общая сумма, то он всегда получает меньшую часть, а когда разыгрывается меньшая общая сумма - то он всегда получает бОльшую часть. Т.е ведущий подыгрывает оппоненту. На самом деле нет такой зависимости.

Где вы такое у меня увидели?

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1427802 писал(а):

я бы так сказал: игрок считает, что если разыгрывается бОльшая общая сумма, то он всегда получает меньшую часть, а когда разыгрывается меньшая общая сумма - то он всегда получает бОльшую часть.

В Ваших рассуждениях, возможно, есть рациональное зерно, но эти рассуждения не могут заменить решение задачи.
По крайней мере они не объясняют, откуда берется именно $5x/4$ ?

Чтобы расставить все точки над крючочками, давайте рассуждать более строго.

Начнем с подготовки конвертов.
Ведущий берет некоторое количество денег $S$ и раскладывает их в два конверта.
В один - $S/3$, в другой - $2S/3$. Среднее количество денег в конверте, таким образом, составляет $S/2$. Это всё, что мы, вместе с ведущим, знаем о двух конвертах.

Игрок, с вероятностью $P=1/2$ выбирает один из двух конвертов.
Если игрок выбрал конверт, в котором находится меньшая сумма $S/3$, то, с вероятностью $P=1$, при обмене он получит конверт, в котором $2S/3$ денег, и с вероятностью $P=0$ конверт, в котором денег в два раза меньше, то-есть $S/6$.
Если игрок выбрал сначала конверт, в котором $2S/3$ денег, то в результате обмена у него с вероятностью $P=1$ будет $S/3$ денег, и с вероятностью $P=0$ - в два раза больше денег, то-есть $4S/3$.

Среднее ожидаемое от совершения обмена количество денег составит:
$(0\cdot S/6 +1\cdot S/3 + 1\cdot 2S/3 + 0\cdot 4S/3)/2 =S/2$.
До обмена у игрока было, в среднем, $S/2$, и после обмена будет, в среднем, $S/2$,
никакого выигрыша в процессе обмена игрок не получит.
Те же рассуждения применимы и ко второму игроку, если он есть.
Если в двух конвертах есть $S$ денег, то у каждого игрока, в среднем, $S/2$ до обмена, и у каждого игрока, в среднем, $S/2$ после обмена.
Сколько денег ($S/3$) потеряет при обмене один игрок, ровно столько получит дополнительно другой игрок.

Теперь, когда задача полностью решена, займемся работой над ошибками игрока.

Если в первоначально выбранном конверте у игрока меньшая сумма $x=S/3$,
то он полагает, что в другом конверте с вероятностью $P=0.5$ либо $x/2=S/6$, либо $2x=2S/3$, в среднем $5x/4=5S/12$. Это слегка заниженная оценка , но меняться в данном конкретном случае действительно выгодно.
Если же игрок сначала выбирает конверт, в котором бОльшая из сумм $x=2S/3$, то, по его авторитетному мнению, в результате обмена он с вероятностью $P=0.5$ может получить либо $x/2=S/3$, либо $2x=4S/3$.
В среднем в результате обмена у игрока должно, по его мнению, оказаться, в среднем, $5x/4=5S/6$ и это сильно завышенная оценка, ведущая к неправильному для данного случая выводу, что меняться опять-таки выгодно!
В целом игрок надеется получить от обмена, в среднем:
$5x/4=(5S/12+5S/6)/2=5S/8>S/2$ и приходит к неверному выводу, что обмен выгоден всегда.

Причина ошибки игрока в том, что он одновременно приравнивает $x=S/3=2S/3$, что невозможно, и затем, для этого невозможного $x$ ведет все дальнейшие рассуждения.
Он должен был отдельно рассмотреть случай $x=S/3$, и отдельно $2x=2S/3$, со средним значением $3x/2$ и двумя равновозможными при обмене вариантами:
$x \to 2x$ и $2x \to x$, которые дают среднее значение после обмена снова равным $3x/2$.

Приравнивая $x$ одновременно к большему и меньшему из двух значений $x=S/3=2S/3$ игрок тем самым легитимизирует невозможные варианты обмена:
$x \to x/2$ и $2x \to 4x$, прибавление которых к двум возможным и дает те самые лишние $x/4$, создающие иллюзию выгодности обмена.

Если после такого пространного разбора еще останутся какие-то непонятные моменты, то... я уже не знаю, как еще можно объяснить этот с виду парадокс, а на самом деле банальный софизм...

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1427910 писал(а):

Начнем с подготовки конвертов.
Ведущий берет некоторое количество денег $S$ и раскладывает их в два конверта.
В один - $S/3$, в другой - $2S/3$. Среднее количество денег в конверте, таким образом, составляет $S/2$. Это всё, что мы, вместе с ведущим, знаем о двух конвертах.

Это знает ведущий, но не игроки. Игроки вообще ничего не знают о процедуре подготовки конвертов.
То, что Вы придумали симметричную процедуру подготовки конвертов, это совсем не означает, что она такая и есть.

Лукомор в сообщении #1427910 писал(а):

Теперь, когда задача полностью решена, займемся работой над ошибками игрока.

Игроки точно так же придумывают, фантазируют какую-то определенную процедуру подготовки конвертов. Их проблема в том, что процедура "перекошена", но она не может быть "перекошена в обе стороны", поэтому одинаковые рассуждения игроков приводят к противоречию.

Игроки вообще ничего не знают, как готовятся конверты. Вообще ничего. Конверты могут готовиться симметрично, могут готовиться с перекосом.
Поэтому правильная стратегия игрока - бросать монетку, орел - меняем, решка - не меняем.

Лукомор в сообщении #1427910 писал(а):

Если после такого пространного разбора еще останутся какие-то непонятные моменты, то... я уже не знаю, как еще можно объяснить этот с виду парадокс, а на самом деле банальный софизм...

[sergey zhukov]

Sicker в сообщении #1427904 писал(а):

Без него задача становится бессмысленной, т.к. равновероятностное распределение на вещественной прямой не определено, и ведет к парадоксам наподобии этого.

В существовании ограничения на $N$ я и вижу решение этого парадокса. Стоит его ввести, и решение становится очевидным: вероятность "у него $x/2$" становится возрастающей функцией от $x$ (с 0.5 до 1), а вероятность "у него $2x$" - убывающей (с 0.5 до 0). Можно предложить и другие обьяснения, но все они имеют смысл только при существовании ограничения на $N$.

Sicker в сообщении #1427904 писал(а):

Где вы такое у меня увидели?

Это было написано на для вас.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1427912 писал(а):

В существовании ограничения на $N$ я и вижу решение этого парадокса.

Существование ограничения на $N$ (точнее, отсутствие равномерного распределения на $(0, \infty)$) не имеет никакого отношения к ошибкам в рассуждениях игроков.
Конверты могут готовиться по такой процедуре:
$X_1 = Y$
$X_2 = (P / 2 + 2(1-P)) Y$
где, $Y$ - случайная величина на $(0, \infty)$, $P$ - "честная монетка".
Условия задачи соблюдены.
$Y$ может быть распределена на $(0, \infty)$ как угодно, в том числе иметь нулевой хвост.
Первому игроку меняться выгодно, второму - не выгодно.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1427911 писал(а):

Игроки вообще ничего не знают о процедуре подготовки конвертов.
То, что Вы придумали симметричную процедуру подготовки конвертов, это совсем не означает, что она такая и есть.

Я ничего не придумывал. И дело тут вовсе не в процедуре подготовки конвертов, а в возможности, или не возможности,
выбора игроком одного конверта из двух.

Если не лишать игрока права (равновероятного) выбора любого из двух конвертов, подготовленных заранее,
всё будет так, как я расписал в предыдущем сообщении.
Игрок будет уверен, что меняться выгодно, на самом деле всё равно. В этом и заключается парадокс.
Происхождение парадокса я, как мог - прояснил в предыдущем посте, ошибку игрока показал, как игроку рассуждать правильно, тоже вроде бы изложил.

Если изначально игрока лишить права выбора одного из конвертов, то, в принципе, и второй конверт не нужен.
Можно вручить игроку $x$ денег (без конверта), и показать закрытый конверт, сопроводив это действо словами:
"В этом конверте находится либо $x/2$, либо $2x$ денег.
Вы можете либо оставить себе $x$ денег, либо вернуть эти деньги в обмен на конверт !."
Здесь никакого парадокса не возникает, игроку выгодно вернуть деньги, и забрать конверт.

Другой вариант задачи об одном конверте в стиле Леонида Якубовича и "Поля чудес".
Игроку вручается конверт, но, прежде чем он вскроет его, ведущий говорит:"Я дам Вам $x$ рублей чтобы вы вернули конверт не вскрывая. Но знайте, что в конверте может оказаться либо $2x$, либо $x/2$ денег!"
В этом случае игроку не выгодно менять конверт на деньги, а выгодно вскрыть конверт.
И тут тоже нет никакого парадокса.

Если вдобавок игрока лишить не только права свободного выбора одного конверта из двух, но и права обменять найденные в одном конверте деньги на закрытый конверт, то от задачи ничего не останется, и можно обойтись вообще без конвертов.
Просто дать игроку $100$ рублей и проводить на выход.

[podih]

Прежде всего стоит понять, что равномерного распределения на бесконечности не существует. А кабы такое существовало, то средняя сумма у каждого участника была бы бесконечно большой.
Что остаётся? У обоих есть ожидания, прикидки, надежды, опасения, волнения, планы на трату выигрыша. Всё это как-то сопрягается с суммой, увиденной в своём ящике. Если она больше половины ожидаемой, то меняться не стоит. Меньше - да.
Так математическое ожидание смыкается с человеческим.
Пойми, мужик, один сундук
Не сделает тебя богатым.
Бери спокойно что дают,
А что не взял, возьмёшь когда-то.

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1427956 писал(а):

Я ничего не придумывал. И дело тут вовсе не в процедуре подготовки конвертов, а в возможности, или не возможности,
выбора игроком одного конверта из двух.

Если не лишать игрока права (равновероятного) выбора любого из двух конвертов, подготовленных заранее,
всё будет так, как я расписал в предыдущем сообщении.

Выделенное (мной) слово, показывает, что мы несколько по-разному понимаем правила игры.
Насколько понял, Вы считаете, что игрок выбирает конверт случайно (и равновероятно). Да, в этом случае, как бы конверты не готовились, игра "симметризуется", и делать или нет обмен в дальнейшем, уже не важно.
Однако, об этом (о случайном выборе конвертов, или что конверты перетасовал ведущий) ничего не говорится. Поэтому игрок сам должен их перетасовать, например, подкинув честную монетку, и в зависимости от того, что выпало - потребовать обмен, или отказаться от него.

Лукомор в сообщении #1427956 писал(а):

Можно вручить игроку $x$ денег (без конверта), и показать закрытый конверт, сопроводив это действо словами:
"В этом конверте находится либо $x/2$, либо $2x$ денег.
Вы можете либо оставить себе $x$ денег, либо вернуть эти деньги в обмен на конверт !."
Здесь никакого парадокса не возникает, игроку выгодно вернуть деньги, и забрать конверт.

Нет же. Зависит, от того как сформировались сумма $x$ и сумма в конверте.

Если ведущий скажет так:
"я определил сумму $x$, которую сейчас дал Вам. После чего подбросил монетку и положил в конверт $2x$, если был орел, или $x/2$, если была решка. Но что выпало, я Вам не скажу".
Вот тогда меняться выгодно.

Если же он скажет так:
"я определил сумму $x$, которую положил в конверт. После чего подбросил монетку и удвоил её, если был орел, или уполовинил её, если была решка, и отдал Вам сумму, которая получилась. Но что выпало, и какая сумма лежит в конверте, я Вам не скажу".
Вот тогда меняться невыгодно.

-- 27.11.2019, 19:23 --

podih
Меня гложут смутные сомнения, что Вы не посмотрели, в каком разделе находится тема.

[DeBill]

Вот уже 11 страниц народ дружно занимается фигней, обсуждая, в терминах теории вероятности, задачу, которая не является задачей по теории вероятностей (а является задачей философской, в духе известного анекдота про шестой этаж борделя для женщин). Фишка в чем: нет вероятностного пространства (каковое и является математической моделью случайного эксперимента) - нет и никакой науки, и никаких вероятностей. А использование вероятностной терминологии при этом - это просто вешание лапши на уши..
Но - по порядку.
В стартовом посте это было отчетливо видно, на что ТС и было указано: слова "случайное кол-во денег в конверте" подразумевают некоторое распределение этого кол-ва; в постановке задачи можно думать о равномерном на полупрямой - но такого не бывает. Если же распределение известно - то никакого парадокса нет, а есть вполне себе решаемая задача, вовсе не обещающая обязательность обмена.
Эту дыру пытались залатать, модифицируя стартовую задачу всякими способами. Ну очень всякими:
1. Распределение , по которому играет ведущий, есть, но не известно игроку. Ну, это та же рыба, но за другие деньги: неизвестна игроку - нет вероятностного пространства, а есть голая философия (в наихудшем смысле этого, не побоюсь сказать, слова).
2. Распределение , по которому играет ведущий, есть, но не известно игроку. Зато игра проводится много раз, и игрок , типа, может вычислить распределение ведущего, и стабильно играть станет сильно... Эта все еще та же рыба, но уже за метаденьги: пока не описан класс допустимых (для ведущего) распределений, и правило их выбора - нет вероятностей, но есть Философия.
3. Введение второго игрока (владельца второго конверта), также с правом обмена. В честных случаях (т.е., когда распределение количества денег в конвертах известно) это приводит к забавным ситуациям. Так, в модели, рассмотренной Sicker: возможные суммы - степени двоек (от первой до энной), в одном конверте - в два раза больше, все варианты равновероятны, обмен - только при взаимном согласии...Тут, как и указал Sicker, обменов вообще не будет. Забавно, что если обмен производится принудительно (если хотя бы один пожелал), то обмен будет всегда - получается теми же рассуждениями.
Ну, а дискуссию о том, как надо играть против оптимальной смешанной стратегии (и в чет-нечет) - это я даже и комментировать стесняюсь.
Но, если по честному, то парадокс таки имеется: математической задачи (по теории вероятностей) нет, а 11 страниц обсуждений - есть.....

[podih]

EUgeneUS в сообщении #1427974 писал(а):

Вы не посмотрели, в каком разделе находится тема.

Попробуйте понять первую часть моего коммента, тогда вторая пойдёт добавкой. А вообще, я обращался к уважающим меня людям.
Ну вот, пока писал, DeBill объяснил то же самое более пространно.
Впрочем, я уже не к Вам обращаюсь.

[sergey zhukov]

podih в сообщении #1427964 писал(а):

Прежде всего стоит понять, что равномерного распределения на бесконечности не существует.

Да, похоже, что к этому все и сводится. По моему, трудность в том, чтобы понять, что общая сумма - это случайная величина и она обязана иметь какое-то распределение. Т.е. на нее наложено какое-то ограничение (в виде распределения), хотя в изначальной постановке задачи кажется, что на нее нет вообще никаких ограничений и она с равной вероятностью может быть просто какой угодно. Это звучит логично, но по сути это абсурд.

Лукомор: вы хотите рассмотреть задачу так: общая сумма $S$ в обоих конвертах фиксирована, а теперь давайте разделим ее так или этак, и в результате никаких парадоксов. Совершенно верно. Но игрок рассуждает так: сумма $x$ в моем конверте фиксирована, а общая сумма $S$ в двух конвертах может быть либо такой, либо этакой. Почему он должен считать фиксированным именно $S$, а не $x$? Да, неверный вывод получается, если вместо фиксированного $S$ рассматривается фиксированный $x$, но почему так рассуждать нельзя? Обьясните это, не прибегая к фиксированному $S$.

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1427980 писал(а):

парадокс таки имеется: математической задачи (по теории вероятностей) нет, а 11 страниц обсуждений - есть...

Это не парадокс, а следствие абсолютной ментальной упругости ТС...

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1427982 писал(а):

Почему он должен считать фиксированным именно $S$, а не $x$? Да, неверный вывод получается, если вместо фиксированного $S$ рассматривается фиксированный $x$, но почему так рассуждать нельзя? Обьясните это, не прибегая к фиксированному $S$.

Если бы Вы дочитали до конца то сообщение, к которому сейчас апеллируете, эти вопросы не возникли бы.
В конце того сообщения я уже все объяснил, не прибегая к фиксированному $S$.

Так, как рассуждает игрок, рассуждать можно, но это будет ошибочное рассуждение.
Ошибка вот в этом пассаже:

sergey zhukov в сообщении #1427982 писал(а):

Но игрок рассуждает так: сумма $x$ в моем конверте фиксирована

Игрок не имеет никаких оснований смешивать два разных расклада, и обозначать одной буквой $x$ и большую и меньшую из двух сумм одновременно. Точнее, может, но тогда он должен честно признать, что во втором конверте точно такой же $x$, только этот второй $x$ не равен иксу в первом конверте.

Правильно будет обозначить меньшую из двух сумм $x$, а бОльшую другой буквой, например $y=2x$.
Тогда рассуждения игрока будут такими:
"В моем конверте сейчас фиксированная сумма, и эта сумма - либо $x$, либо $y$. В среднем $(x+y)/2$. Если у меня $x$, то после обмена у меня будет $y$, если у меня $y$, то после обмена будет $x$. В среднем после обмена у меня будет $(y+x)/2$. Меняйся, не меняйся, ничего не изменится!"
Обозначая одной и той же буквой $x$ и бОльшую и меньшую из двух сумм одновременно, игрок тем самым ошибочно полагает, что во втором конверте он сможет найти и сумму в два раза меньшую меньшей, и в два раза большую бОльшей из двух сумм. Усреднение этих четырех якобы возможных сумм как раз и дает ровно $5x/4$ во втором конверте.

-- Ср ноя 27, 2019 22:32:00 --

EUgeneUS в сообщении #1427974 писал(а):

Если ведущий скажет так:
"я определил сумму $x$, которую сейчас дал Вам.

Он при этом обязательно соврет.
Он и сам еще не знает, до подбрасывания монетки,
дал ли он игроку $x$, или $2x$, а может быть даже $x/2$.

[Yadryara]

sergey zhukov в сообщении #1427982 писал(а):

Да, неверный вывод получается, если вместо фиксированного $S$ рассматривается фиксированный $x$, но почему так рассуждать нельзя?

Слово "фиксированный" здесь вообще лишнее. Потому и нельзя, что приводит к неверному выводу.
Лукомор и в этом посте и в только что появившемся, ещё и ещё раз внятно объяснил, прямо-таки разжевал и в рот положил.

А объяснение через распределение использовать необязательно.

[sergey zhukov]

Лукомор в сообщении #1427991 писал(а):

Игрок не имеет никаких оснований смешивать два разных расклада, и обозначать одной буквой $x$ и большую и меньшую из двух сумм одновременно.

Можно так. Мои рассуждения (как игрока) были бы верными, если бы ведущй сначала выдавал мне $x$, а затем бросал монетку и выдавал моему оппоненту $x/2$ или $2x$. Т.е. точка отсчета - это всегда я. Это не соответствует тому, как ведущий раздает деньги на самом деле, т.к. в половине случаев точка отсчета - это оппонент.