2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 13:57 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Привести пример плоского многоугольника, который можно разрезать на две равные части ломаной, но нельзя прямой.

(Оффтоп)

Для невыпуклых многогранников, как начального, так и конечного, строится весьма просто.
А вот с выпуклыми, похоже нельзя. Может это какой-то известный результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 14:06 


05/09/16
11467

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1426892 писал(а):
многогранника

Многоугольника всё же (2D)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 14:12 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
wrest

(Оффтоп)

Да, многоугольника. Поправил. Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 14:57 


05/09/16
11467
Что-то типа:
Изображение
Черным - границы многоугольника, красным - ломаная, по которой резать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 15:11 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
wrest
Ага. Подобные фигурки примечательны еще тем, что ломаными их можно разрезать на сколько угодно одинаковых частей.
Другой вариант построения: взять любой многогранник, "воткнуть" в его сторону углом такой же, из второго вырезать часть, которая перекрылась у первого.

А с выпуклыми, похоже, швах, невозможно. Но пока не доказал. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 15:51 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
wrest в сообщении #1426907 писал(а):
Что-то типа
Ну очень уж типа. Прекрасно разрезается пополам вертикальной прямой.
EUgeneUS в сообщении #1426909 писал(а):
Но пока не доказал
Я чего-то недопонял? Проводим любую прямую в сторонке и начинаем двигать в сторону многоугольника любой выпуклой фигуры. Разность площадей оной фигуры с одной и с другой стороны прямой равна сначала площади фигуры, потом непрерывно меняется до той же площади с минусом. Стало быть, где-то достигает нуля, не?
Не. проще таки многоугольник, и прямая должна быть не параллельна никакой стороне многоугольника.
Если точнее, фигура может быть любой (не обязательно выпуклой), а прямая не должна быть параллельна никакому отрезку границы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 16:04 


05/09/16
11467
iifat в сообщении #1426916 писал(а):
Ну очень уж типа. Прекрасно разрезается пополам вертикальной прямой.
Получатся равновеликие, но не равные части.
То что прямой можно разрезать на равновеликие части, это ясно. Я даже грешным делом подумал что через центр тяжести должна пойти такая прямая. Для треугольников это вроде так, а дальше я не знаю, в этой связи вопрос: пересекаются ли прямые, делящие многоугольник на две равновеликие части, в одной точке?
iifat в сообщении #1426916 писал(а):
Я чего-то недопонял?
Да, разницу между равными (другое название "конгруэнтными" -- можно совместить движением, иногда сюда включают и отражение) и равновеликими (равной площади) фигурами.
Равные являются равновеликими, но не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 16:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
EUgeneUS в сообщении #1426909 писал(а):
Подобные фигурки примечательны еще тем, что ломаными их можно разрезать на сколько угодно одинаковых частей.
А есть ли пример фигуры, разрезаемой на две части, но не на большее число? (Уже ни прямыми, ни ломаными.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 17:20 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
arseniiv
Итерационное деление пополам обрывается легко.
Гипотеза (но похоже на правду):
Выпуклые многоугольники делятся пополам на равные части, только если они зеркально или центрально симметричны. Во втором случае можно поделить ломаной, в первом - нет.

Тогда, например, равнобедренную трапецию можно поделить на равные части пополам, а остатки - уже нет.

Проблема в том, что если фигура не делится на две равные части, то это не означает, что не делится на большее количество равных частей. Неравнобедренный тругольник, например, пополам не делится на равные части. А на четыре равные части делится всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 17:29 


14/01/11
2916
arseniiv в сообщении #1426922 писал(а):
А есть ли пример фигуры, разрезаемой на две части, но не на большее число? (Уже ни прямыми, ни ломаными.)

Что-то вроде этого? :-)
$\begin{tikzpicture}\draw (0,0)--(5,0)--(5,5)--(10,5)--(5,7)--(0,5)--(0,0);\end{tikzpicture}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 18:00 


05/09/16
11467
EUgeneUS в сообщении #1426929 писал(а):
Неравнобедренный тругольник, например, пополам не делится на равные части. А на четыре равные части делится всегда.

Отсюда вопрос: если фигуры $F_1$ и $F_2$ равносоставлены и $F_1$ можно разделить прямой (вариант1: ломаной вариант2: кусочно-непрерывной кривой) на две равные части, то нельзя ли все-таки провести ломаную\кусочно-непрерывную кривую, которая разделит $F_2$ на равные части?
Ну например любой треугольник равносоставлен с каким-то параллелограммом. Параллелограмм всегда можно разделить прямой на две равные части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 18:17 


14/01/11
2916
EUgeneUS в сообщении #1426929 писал(а):
Проблема в том, что если фигура не делится на две равные части, то это не означает, что не делится на большее количество равных частей.

Кстати, можно ведь взять произвольную выпуклую центрально-симметричную (но не осесимметричную) фигуру, тогда любая прямая, проходящая через центр, разделит её на две равные части. Что-то подсказывает, что если часть границы достаточно "кривая" (нигде не совмещается сама с собой), то мы нашли решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение20.11.2019, 23:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
EUgeneUS
Типа, такое невозможно...
Пусть (реально) ломаная разбивает выпуклый на две равные части. Пусть $ABC$ - кусок ломаной, являющийся "впуклой частью" границы одной из частей. Поскольку части совместимы неким движением $g$, то $g(ABC) =A'B'C'$ - кусок "впуклой части границы" другой части. Из выпуклости исходного следует, что $A'B'C'$ - тоже кусок разреза (что, впрочем, неважно. А важно, что $A'C'$ лежит в исходном выпуклом мн-ке). Добавим к первой части тр-к $ABC$, но удалим из нее тр-к $A'B'C'$ (аналогично, но наоборот, поступим со второй частью); получим снова разбиение на две равных части, но с менее "ломаным" разрезом. И т.д....

(Оффтоп)

Но что-то тут мне все не совсем нравится. Поскольку уже известный факт "в мн-ке есть настоящая диагональ (т.е., не пересекающая другие стороны)" достаточно нетривиален. Хотя, может, все и можно довести до ума....

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение21.11.2019, 07:53 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DeBill
Спасибо, что заглянули в тему.

Тоже складывалось, что-то подобное про рассмотрении "впуклостей":
1. Если разрезали на две равные части ломаной, то внутри есть как минимум один угол ($A$).
2. Этот угол будет выпуклым для одной части ($A_1$), но "впуклым" для другой ($A_2$). Индексы указывают к какой части принадлежит точка.
3. На границе исходного многоугольника никаких впуклых углов нет, значит при совмещении частей, точка $A_2$ должна совместиться с некой точкой $B_1$, которая также лежит на ломанной.
... тут дыра.
4. И вроде как из всего этого должно следовать, что единственный вариант совместить части - это если разрез совмещается сам с собой.
5. Есть ровно два варианта
а) концы ломаной совмещаются сами с собой, тогда разрез зеркально симметричен, осью симметрии является прямая, соединяющая концы ломаной, что невозможно.
б) концы ломаной совмещаются "крест-на-крест", тогда разрез совмещается сам с собой поворотом на 180 градусов, а значит он центрально симметричен. Причем центром симметрии является точка на середине отрезка, соединяющая концы ломаной.
5. При этом полностью совмещаются части периметра исходного многоугольника. А значит и сам многоугольник центрально симметричен.
6. А раз так, то его можно разрезать на две одинаковые части любой прямой, проходящей через центр симметрии.
7. Если многоугольник не центрально симметричен, разрезать ломаной его нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание пополам
Сообщение19.05.2020, 17:56 
Аватара пользователя


14/05/20
42
Наверное так:
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group