Разрезание пополам

[EUgeneUS]

Привести пример плоского многоугольника, который можно разрезать на две равные части ломаной, но нельзя прямой.

(Оффтоп)

Для невыпуклых многогранников, как начального, так и конечного, строится весьма просто.
А вот с выпуклыми, похоже нельзя. Может это какой-то известный результат?

[wrest]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1426892 писал(а):

многогранника

Многоугольника всё же (2D)?

[EUgeneUS]

wrest

(Оффтоп)

Да, многоугольника. Поправил. Спасибо

[wrest]

Что-то типа:

Черным - границы многоугольника, красным - ломаная, по которой резать.

[EUgeneUS]

wrest
Ага. Подобные фигурки примечательны еще тем, что ломаными их можно разрезать на сколько угодно одинаковых частей.
Другой вариант построения: взять любой многогранник, "воткнуть" в его сторону углом такой же, из второго вырезать часть, которая перекрылась у первого.

А с выпуклыми, похоже, швах, невозможно. Но пока не доказал.

[iifat]

wrest в сообщении #1426907 писал(а):

Что-то типа

Ну очень уж типа. Прекрасно разрезается пополам вертикальной прямой.

EUgeneUS в сообщении #1426909 писал(а):

Но пока не доказал

Я чего-то недопонял? Проводим любую прямую в сторонке и начинаем двигать в сторону многоугольника любой выпуклой фигуры. Разность площадей оной фигуры с одной и с другой стороны прямой равна сначала площади фигуры, потом непрерывно меняется до той же площади с минусом. Стало быть, где-то достигает нуля, не?
Не. проще таки многоугольник, и прямая должна быть не параллельна никакой стороне многоугольника.
Если точнее, фигура может быть любой (не обязательно выпуклой), а прямая не должна быть параллельна никакому отрезку границы.

[wrest]

iifat в сообщении #1426916 писал(а):

Ну очень уж типа. Прекрасно разрезается пополам вертикальной прямой.

Получатся равновеликие, но не равные части.
То что прямой можно разрезать на равновеликие части, это ясно. Я даже грешным делом подумал что через центр тяжести должна пойти такая прямая. Для треугольников это вроде так, а дальше я не знаю, в этой связи вопрос: пересекаются ли прямые, делящие многоугольник на две равновеликие части, в одной точке?

iifat в сообщении #1426916 писал(а):

Я чего-то недопонял?

Да, разницу между равными (другое название "конгруэнтными" -- можно совместить движением, иногда сюда включают и отражение) и равновеликими (равной площади) фигурами.
Равные являются равновеликими, но не наоборот.

[arseniiv]

EUgeneUS в сообщении #1426909 писал(а):

Подобные фигурки примечательны еще тем, что ломаными их можно разрезать на сколько угодно одинаковых частей.

А есть ли пример фигуры, разрезаемой на две части, но не на большее число? (Уже ни прямыми, ни ломаными.)

[EUgeneUS]

arseniiv
Итерационное деление пополам обрывается легко.
Гипотеза (но похоже на правду):
Выпуклые многоугольники делятся пополам на равные части, только если они зеркально или центрально симметричны. Во втором случае можно поделить ломаной, в первом - нет.

Тогда, например, равнобедренную трапецию можно поделить на равные части пополам, а остатки - уже нет.

Проблема в том, что если фигура не делится на две равные части, то это не означает, что не делится на большее количество равных частей. Неравнобедренный тругольник, например, пополам не делится на равные части. А на четыре равные части делится всегда.

[Sender]

arseniiv в сообщении #1426922 писал(а):

А есть ли пример фигуры, разрезаемой на две части, но не на большее число? (Уже ни прямыми, ни ломаными.)

Что-то вроде этого?
$\begin{tikzpicture}\draw (0,0)--(5,0)--(5,5)--(10,5)--(5,7)--(0,5)--(0,0);\end{tikzpicture}$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1426929 писал(а):

Неравнобедренный тругольник, например, пополам не делится на равные части. А на четыре равные части делится всегда.

Отсюда вопрос: если фигуры $F_1$ и $F_2$ равносоставлены и $F_1$ можно разделить прямой (вариант1: ломаной вариант2: кусочно-непрерывной кривой) на две равные части, то нельзя ли все-таки провести ломаную\кусочно-непрерывную кривую, которая разделит $F_2$ на равные части?
Ну например любой треугольник равносоставлен с каким-то параллелограммом. Параллелограмм всегда можно разделить прямой на две равные части.

[Sender]

EUgeneUS в сообщении #1426929 писал(а):

Проблема в том, что если фигура не делится на две равные части, то это не означает, что не делится на большее количество равных частей.

Кстати, можно ведь взять произвольную выпуклую центрально-симметричную (но не осесимметричную) фигуру, тогда любая прямая, проходящая через центр, разделит её на две равные части. Что-то подсказывает, что если часть границы достаточно "кривая" (нигде не совмещается сама с собой), то мы нашли решение.

[DeBill]

EUgeneUS
Типа, такое невозможно...
Пусть (реально) ломаная разбивает выпуклый на две равные части. Пусть $ABC$ - кусок ломаной, являющийся "впуклой частью" границы одной из частей. Поскольку части совместимы неким движением $g$, то $g(ABC) =A'B'C'$ - кусок "впуклой части границы" другой части. Из выпуклости исходного следует, что $A'B'C'$ - тоже кусок разреза (что, впрочем, неважно. А важно, что $A'C'$ лежит в исходном выпуклом мн-ке). Добавим к первой части тр-к $ABC$, но удалим из нее тр-к $A'B'C'$ (аналогично, но наоборот, поступим со второй частью); получим снова разбиение на две равных части, но с менее "ломаным" разрезом. И т.д....

(Оффтоп)

Но что-то тут мне все не совсем нравится. Поскольку уже известный факт "в мн-ке есть настоящая диагональ (т.е., не пересекающая другие стороны)" достаточно нетривиален. Хотя, может, все и можно довести до ума....

[EUgeneUS]

DeBill
Спасибо, что заглянули в тему.

Тоже складывалось, что-то подобное про рассмотрении "впуклостей":
1. Если разрезали на две равные части ломаной, то внутри есть как минимум один угол ($A$).
2. Этот угол будет выпуклым для одной части ($A_1$), но "впуклым" для другой ($A_2$). Индексы указывают к какой части принадлежит точка.
3. На границе исходного многоугольника никаких впуклых углов нет, значит при совмещении частей, точка $A_2$ должна совместиться с некой точкой $B_1$, которая также лежит на ломанной.
... тут дыра.
4. И вроде как из всего этого должно следовать, что единственный вариант совместить части - это если разрез совмещается сам с собой.
5. Есть ровно два варианта
а) концы ломаной совмещаются сами с собой, тогда разрез зеркально симметричен, осью симметрии является прямая, соединяющая концы ломаной, что невозможно.
б) концы ломаной совмещаются "крест-на-крест", тогда разрез совмещается сам с собой поворотом на 180 градусов, а значит он центрально симметричен. Причем центром симметрии является точка на середине отрезка, соединяющая концы ломаной.
5. При этом полностью совмещаются части периметра исходного многоугольника. А значит и сам многоугольник центрально симметричен.
6. А раз так, то его можно разрезать на две одинаковые части любой прямой, проходящей через центр симметрии.
7. Если многоугольник не центрально симметричен, разрезать ломаной его нельзя.

[FEBUS]

Наверное так: