Движение по наклонной плоскости тела переменной массы

[statistonline]

Доброго дня!
Прошу помочь выпутаться из, вроде, простой задачи. Тема движения тел с переменной массой для меня давно забытая, поэтому что именно делаю не так - не понимаю.
Задача: сани, наполненные песком, начинают двигаться по наклонной плоскости с углом наклона в $30^{\circ}$ из состояния покоя. Песок высыпается из саней с расходом 2 кг/сек. Полная масса саней изначально 40 кг. Какое время потребуется саням, чтобы пройти по наклонной плоскости путь $S$ в 120 м.
Я составляю уравнение (уже в проекции на наклонную):
$M\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2}Mg-v_{rel}\mu$,
где $v_{rel}$ - скорость песка относительно саней, $\mu$ - расход песка.
$\mu=\frac{dM}{dt}$
Дальше, видимо, надо разделять:
$dv=\frac{1}{2}gdt-v_{rel}\frac{dM}{M}$
Интегрируя, получаем уравнение
$v=\frac{1}{2}gt-v_{rel}ln\frac{M_{t}}{M}$,
где $M_{t}$ - масса саней в момент времени $t$
Насколько я понимаю, $v_{rel}=v$. Еще сюда добавится уравнение связи для $S(t)$. Но что делать с массой саней в произвольный момент времени - мне непонятно.

[DimaM]

Если в формулировке ничего не упущено, то на первый взгляд высыпание песка с нулевой относительно саней скоростью никак не должно влиять на движение. Более того, высыпавшийся песок будет продолжать скользить вниз вровень с санками.

[statistonline]

Про песок точно ничего не упущено. Сани скользят по наклонной без трения. Предполагается, видимо, что просыпавшийся песок остается лежать в точке падения.
Вроде очевидную вещь упустил:
$M_{t}=M-\mu\cdot t$
Но не сильно это помогает, потому что получаем
$\frac{1}{2}gt-v_{rel}\cdot ln\frac{M-\mu t}{M}=\frac{2S}{t}$,
и как оттуда вытаскивать $t$ - непонятно.

[EUgeneUS]

statistonline в сообщении #1426709 писал(а):

Предполагается, видимо, что просыпавшийся песок остается лежать в точке падения.

И пусть себе лежит.
Как выше отметил уважаемый DimaM, если песок высыпается с нулевой скоростью относительно саней (а это предполагается использованием слова "высыпается"), то дырявый мешок никак не влияет на движение санок.

Кстати, санки предполагают ненулевой коэффициент трения. Если хотят в условиях задать нулевой, то скатывают вниз тележку.

[statistonline]

EUgeneUS в сообщении #1426710 писал(а):

дырявый мешок никак не влияет на движение санок.

То есть, все-таки $v_{rel}$ нужно полагать равным нулю? Зачем тогда в задаче дан массовый расход песка?

[EUgeneUS]

statistonline в сообщении #1426711 писал(а):

То есть, все-таки $v_{rel}$ нужно полагать равным нулю?

А если не нулю, то
а) куда она направлена?
б) Дворник нужен

statistonline в сообщении #1426711 писал(а):

Зачем тогда в задаче дан массовый расход песка?

А можно раскрыть источник задачи? Чтобы посмотреть условия as is?

[wrest]

statistonline в сообщении #1426711 писал(а):

Зачем тогда в задаче дан массовый расход песка?

Или вы привели не полный текст задачи, или есть какие-то общие пояснения, которые вы также не привели.

[statistonline]

EUgeneUS в сообщении #1426712 писал(а):

А если не нулю, то
а) куда она направлена?
б) Дворник нужен

а) Против движения саней. Вот ровно так я и полагал, что $v_{rel}=-v$.
б) Не понял вопроса.

EUgeneUS в сообщении #1426712 писал(а):

А можно раскрыть источник задачи? Чтобы посмотреть условия as is?

http://old.pskgu.ru/ebooks/ddf1/ddf1_08.pdf - задача №77, прям самая последняя.
Хорошо, ткните носом меня тогда, что важное я там упустил.

[DimaM]

statistonline в сообщении #1426714 писал(а):

Против движения саней. Вот ровно так я и полагал, что $v_{rel}=-v$.

В условии "высыпается из отверстия", так что ваше предположение не кажется обоснованным.

[statistonline]

DimaM в сообщении #1426716 писал(а):

В условии "высыпается из отверстия", так что ваше предположение не кажется обоснованным.

И тогда получается, что песок здесь вообще ни при чем, ни на что не влияет, это я понял. А зачем он тогда в задаче? Это же просто получается задача на скатывание санок под уклон.

[wrest]

Помойму, условия неполны. Как написано в книжке, эта задача просто на равноускоренное движение по наклонной плоскости, переменная масса не при чем. Песка на 120 метров пути хватит.

[DimaM]

statistonline в сообщении #1426719 писал(а):

И тогда получается, что песок здесь вообще ни при чем, ни на что не влияет

Очень на то похоже.

statistonline в сообщении #1426719 писал(а):

А зачем он тогда в задаче?

У составителей нужно спросить. Возможно, специально сделали с подвохом (а может, случайно получилось).

[statistonline]

DimaM в сообщении #1426721 писал(а):

У составителей нужно спросить. Возможно, специально сделали с подвохом (а может, случайно получилось).

Понял, спасибо!

wrest в сообщении #1426720 писал(а):

эта задача просто на равноускоренное движение по наклонной плоскости, переменная масса не при чем. Песка на 120 метров пути хватит.

Ну хоть песка хватит, и то ладно

[EUgeneUS]

statistonline
Да, странное условие какое-то.
Во-первых, не очень ясно куда высыпается песок. Хорошо, можно предположить, что песок высыпается свободно под действием силы тяжести.
Однако, во-вторых, заданный массовый расход никак не позволяет определить величину скорости песка относительно тележки. И эта скорость может быть сколь угодно мала, а значит будет сколь угодно мала реактивная сила.

-- 19.11.2019, 09:25 --

DimaM в сообщении #1426721 писал(а):

У составителей нужно спросить. Возможно, специально сделали с подвохом (а может, случайно получилось).

Похоже составители попытались "перевернуть" пример 8.15 (гравий сыпется на транспортер), но как-то неудачно получилось.

[statistonline]

EUgeneUS в сообщении #1426723 писал(а):

Да, странное условие какое-то.

Да вообще там много странного. Например, такая (тоже вроде из этого учебника):