2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 07:35 


06/09/12
890
Доброго дня!
Прошу помочь выпутаться из, вроде, простой задачи. Тема движения тел с переменной массой для меня давно забытая, поэтому что именно делаю не так - не понимаю.
Задача: сани, наполненные песком, начинают двигаться по наклонной плоскости с углом наклона в $30^{\circ}$ из состояния покоя. Песок высыпается из саней с расходом 2 кг/сек. Полная масса саней изначально 40 кг. Какое время потребуется саням, чтобы пройти по наклонной плоскости путь $S$ в 120 м.
Я составляю уравнение (уже в проекции на наклонную):
$M\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2}Mg-v_{rel}\mu$,
где $v_{rel}$ - скорость песка относительно саней, $\mu$ - расход песка.
$\mu=\frac{dM}{dt}$
Дальше, видимо, надо разделять:
$dv=\frac{1}{2}gdt-v_{rel}\frac{dM}{M}$
Интегрируя, получаем уравнение
$v=\frac{1}{2}gt-v_{rel}ln\frac{M_{t}}{M}$,
где $M_{t}$ - масса саней в момент времени $t$
Насколько я понимаю, $v_{rel}=v$. Еще сюда добавится уравнение связи для $S(t)$. Но что делать с массой саней в произвольный момент времени - мне непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 07:56 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Если в формулировке ничего не упущено, то на первый взгляд высыпание песка с нулевой относительно саней скоростью никак не должно влиять на движение. Более того, высыпавшийся песок будет продолжать скользить вниз вровень с санками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 08:26 


06/09/12
890
Про песок точно ничего не упущено. Сани скользят по наклонной без трения. Предполагается, видимо, что просыпавшийся песок остается лежать в точке падения.
Вроде очевидную вещь упустил:
$M_{t}=M-\mu\cdot t$
Но не сильно это помогает, потому что получаем
$\frac{1}{2}gt-v_{rel}\cdot ln\frac{M-\mu t}{M}=\frac{2S}{t}$,
и как оттуда вытаскивать $t$ - непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 08:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
statistonline в сообщении #1426709 писал(а):
Предполагается, видимо, что просыпавшийся песок остается лежать в точке падения.


И пусть себе лежит.
Как выше отметил уважаемый DimaM, если песок высыпается с нулевой скоростью относительно саней (а это предполагается использованием слова "высыпается"), то дырявый мешок никак не влияет на движение санок.

Кстати, санки предполагают ненулевой коэффициент трения. Если хотят в условиях задать нулевой, то скатывают вниз тележку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 08:42 


06/09/12
890
EUgeneUS в сообщении #1426710 писал(а):
дырявый мешок никак не влияет на движение санок.

То есть, все-таки $v_{rel}$ нужно полагать равным нулю? Зачем тогда в задаче дан массовый расход песка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 08:52 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
statistonline в сообщении #1426711 писал(а):
То есть, все-таки $v_{rel}$ нужно полагать равным нулю?


А если не нулю, то
а) куда она направлена?
б) Дворник нужен :mrgreen:

statistonline в сообщении #1426711 писал(а):
Зачем тогда в задаче дан массовый расход песка?

А можно раскрыть источник задачи? Чтобы посмотреть условия as is?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 08:55 


05/09/16
11467
statistonline в сообщении #1426711 писал(а):
Зачем тогда в задаче дан массовый расход песка?

Или вы привели не полный текст задачи, или есть какие-то общие пояснения, которые вы также не привели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 08:58 


06/09/12
890
EUgeneUS в сообщении #1426712 писал(а):
А если не нулю, то
а) куда она направлена?
б) Дворник нужен :mrgreen:


а) Против движения саней. Вот ровно так я и полагал, что $v_{rel}=-v$.
б) Не понял вопроса.

EUgeneUS в сообщении #1426712 писал(а):
А можно раскрыть источник задачи? Чтобы посмотреть условия as is?

http://old.pskgu.ru/ebooks/ddf1/ddf1_08.pdf - задача №77, прям самая последняя.
Хорошо, ткните носом меня тогда, что важное я там упустил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:12 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
statistonline в сообщении #1426714 писал(а):
Против движения саней. Вот ровно так я и полагал, что $v_{rel}=-v$.

В условии "высыпается из отверстия", так что ваше предположение не кажется обоснованным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:18 


06/09/12
890
DimaM в сообщении #1426716 писал(а):
В условии "высыпается из отверстия", так что ваше предположение не кажется обоснованным.

И тогда получается, что песок здесь вообще ни при чем, ни на что не влияет, это я понял. А зачем он тогда в задаче? Это же просто получается задача на скатывание санок под уклон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:18 


05/09/16
11467
Помойму, условия неполны. Как написано в книжке, эта задача просто на равноускоренное движение по наклонной плоскости, переменная масса не при чем. Песка на 120 метров пути хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:20 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
statistonline в сообщении #1426719 писал(а):
И тогда получается, что песок здесь вообще ни при чем, ни на что не влияет

Очень на то похоже.

statistonline в сообщении #1426719 писал(а):
А зачем он тогда в задаче?

У составителей нужно спросить. Возможно, специально сделали с подвохом (а может, случайно получилось).

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:23 


06/09/12
890
DimaM в сообщении #1426721 писал(а):
У составителей нужно спросить. Возможно, специально сделали с подвохом (а может, случайно получилось).

Понял, спасибо!

wrest в сообщении #1426720 писал(а):
эта задача просто на равноускоренное движение по наклонной плоскости, переменная масса не при чем. Песка на 120 метров пути хватит.

Ну хоть песка хватит, и то ладно :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:23 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
statistonline
Да, странное условие какое-то.
Во-первых, не очень ясно куда высыпается песок. Хорошо, можно предположить, что песок высыпается свободно под действием силы тяжести.
Однако, во-вторых, заданный массовый расход никак не позволяет определить величину скорости песка относительно тележки. И эта скорость может быть сколь угодно мала, а значит будет сколь угодно мала реактивная сила.

-- 19.11.2019, 09:25 --

DimaM в сообщении #1426721 писал(а):
У составителей нужно спросить. Возможно, специально сделали с подвохом (а может, случайно получилось).


Похоже составители попытались "перевернуть" пример 8.15 (гравий сыпется на транспортер), но как-то неудачно получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение по наклонной плоскости тела переменной массы
Сообщение19.11.2019, 09:28 


06/09/12
890
EUgeneUS в сообщении #1426723 писал(а):
Да, странное условие какое-то.

Да вообще там много странного. Например, такая (тоже вроде из этого учебника):
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group