Теорема Уитни

[Nickspa]

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ - гладкая кривая.
$f(t)=(t,0)$ при $\left\lvert t \right\rvert \geqslant 1$.
Точки самопересечения $f$ - простые и трансверсальные.
Знак точки самопересечения $l(a)$ определяется так: если $t_1<t_2, (f'(t_1),f'(t_2))$ - правоориентирован, то $l(a)=1$, левоориентирован, то $l(a)=-1$.
Тогда $f':[0,1]\to \mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace$ - кривая, которая начинается и заканчивается в точке $b=(1,0)$, её класс в $\pi_1(\mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace,b)=\mathbb{Z}$ называется индексом $f$.

Доказать
a) число точек самопересечения $f$ конечно;
b) теорему Уитни: сумма $l(a)$ всех точек самопересечения равна индексу кривой.
Подсказка: используйте $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, F(t,s)=f(t)-f(s)$

Под а), вроде, решил.
Пусть $f(t)=(x(t),y(t))$
Тогда $\det F'(t_1,t_2)=-x'(t_1)y'(t_2)+x'(t_2)y'(t_1)\ne 0$, т.к. точки пересечения трансверсальны. По теореме об обратной функции получается, что у каждой точки пересечения есть окрестность, в которой нет других точек пересечения, то есть каждая точка пересечения изолированна.
Рассмотрим $f$ на компакте $[-1;1]$. Покроем его интервалами с точками пересечения и интервалами между ними, выберем конечное покрытие. Значит и точек самопересечения конечное число.
Верное решение?
Под b) сложнее.
Во-первых, почему $f'$ определяется на $[0,1]$, а не на $[-1;1]$?
Что имею
$l(a)=sgn \det F'(t_1,t_2)$
$f'(t)$ можно прогомотопировать $g(t,s)=(1-s)f'(t)+s\frac{f'(t)}{\left\lvert f'(t) \right\rvert}$. Индекс $f$ станет честным классом отображения в окружность. Вот как-то связать не получается. Что можно сделать?

[Nickspa]

Nickspa в сообщении #1425982 писал(а):

По теореме об обратной функции получается

Перед этим забыл написать, что $F(t,s)$ переводит все точки самопересечения в $(0,0)$.

[Nickspa]

Задача b) актуальна, вернулся к ней. Но далеко не продвинулся.
Пробовал использовать отображение $H(t,s)=f'(t)-f'(s)$. Не помогло.
Далее для "простой" петли (между $t_1,t_2$ нет других точек самопересечения) заметил, что $\det (f'(t_1) f'(t)),t_1<t<t_2$ меняет знак по пути от $t_1$ до $t_2$. То есть при некотором $t$ равен $0$. Но пользы не извлёк.
Вообще, чисто геометрически видно, что для такой "простой" петли индекс меняется на один при переходе от $t_1$ к $t_2$. Но у меня получилось что знак смены индекса и знак точки самопересечения разные. Нет ли ошибки в условии?
И ещё, задача в курсе о гомологиях. Скорее всего, здесь желательно как-то применить гомологии.
Может кто помочь?

[Brukvalub]

Nickspa в сообщении #1425982 писал(а):

Рассмотрим $f$ на компакте $[-1;1]$. Покроем его интервалами с точками пересечения и интервалами между ними,

Вот эта конструкция непонятна. Между двумя непересекающимися интервалами находится отрезок, а не интервал.

[Nickspa]

Brukvalub в сообщении #1428775 писал(а):

Вот эта конструкция непонятна

Задачу a) я довёл до конца (использовал $F(t,s)$ и показал что все точки пересечения изолированны на компакте). Поэтому она не актуальна.
А вот b) не даётся. По ней и нужна помощь.
Соответственно, в b) можем использовать что число точек самопересечения конечно.