2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Уитни
Сообщение14.11.2019, 18:12 


09/12/16
146
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ - гладкая кривая.
$f(t)=(t,0)$ при $\left\lvert t \right\rvert \geqslant 1$.
Точки самопересечения $f$ - простые и трансверсальные.
Знак точки самопересечения $l(a)$ определяется так: если $t_1<t_2, (f'(t_1),f'(t_2))$ - правоориентирован, то $l(a)=1$, левоориентирован, то $l(a)=-1$.
Тогда $f':[0,1]\to \mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace$ - кривая, которая начинается и заканчивается в точке $b=(1,0)$, её класс в $\pi_1(\mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace,b)=\mathbb{Z}$ называется индексом $f$.

Доказать
a) число точек самопересечения $f$ конечно;
b) теорему Уитни: сумма $l(a)$ всех точек самопересечения равна индексу кривой.
Подсказка: используйте $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, F(t,s)=f(t)-f(s)$

Под а), вроде, решил.
Пусть $f(t)=(x(t),y(t))$
Тогда $\det F'(t_1,t_2)=-x'(t_1)y'(t_2)+x'(t_2)y'(t_1)\ne 0$, т.к. точки пересечения трансверсальны. По теореме об обратной функции получается, что у каждой точки пересечения есть окрестность, в которой нет других точек пересечения, то есть каждая точка пересечения изолированна.
Рассмотрим $f$ на компакте $[-1;1]$. Покроем его интервалами с точками пересечения и интервалами между ними, выберем конечное покрытие. Значит и точек самопересечения конечное число.
Верное решение?
Под b) сложнее.
Во-первых, почему $f'$ определяется на $[0,1]$, а не на $[-1;1]$?
Что имею
$l(a)=sgn \det F'(t_1,t_2)$
$f'(t)$ можно прогомотопировать $g(t,s)=(1-s)f'(t)+s\frac{f'(t)}{\left\lvert f'(t) \right\rvert}$. Индекс $f$ станет честным классом отображения в окружность. Вот как-то связать не получается. Что можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Уитни
Сообщение14.11.2019, 19:57 


09/12/16
146
Nickspa в сообщении #1425982 писал(а):
По теореме об обратной функции получается

Перед этим забыл написать, что $F(t,s)$ переводит все точки самопересечения в $(0,0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Уитни
Сообщение03.12.2019, 16:56 


09/12/16
146
Задача b) актуальна, вернулся к ней. Но далеко не продвинулся.
Пробовал использовать отображение $H(t,s)=f'(t)-f'(s)$. Не помогло.
Далее для "простой" петли (между $t_1,t_2$ нет других точек самопересечения) заметил, что $\det (f'(t_1) f'(t)),t_1<t<t_2$ меняет знак по пути от $t_1$ до $t_2$. То есть при некотором $t$ равен $0$. Но пользы не извлёк.
Вообще, чисто геометрически видно, что для такой "простой" петли индекс меняется на один при переходе от $t_1$ к $t_2$. Но у меня получилось что знак смены индекса и знак точки самопересечения разные. Нет ли ошибки в условии?
И ещё, задача в курсе о гомологиях. Скорее всего, здесь желательно как-то применить гомологии.
Может кто помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Уитни
Сообщение04.12.2019, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nickspa в сообщении #1425982 писал(а):
Рассмотрим $f$ на компакте $[-1;1]$. Покроем его интервалами с точками пересечения и интервалами между ними,

Вот эта конструкция непонятна. Между двумя непересекающимися интервалами находится отрезок, а не интервал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Уитни
Сообщение04.12.2019, 12:22 


09/12/16
146
Brukvalub в сообщении #1428775 писал(а):
Вот эта конструкция непонятна

Задачу a) я довёл до конца (использовал $F(t,s)$ и показал что все точки пересечения изолированны на компакте). Поэтому она не актуальна.
А вот b) не даётся. По ней и нужна помощь.
Соответственно, в b) можем использовать что число точек самопересечения конечно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group