2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.
 
 
Сообщение03.09.2008, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Лукомор писал(а):
Выше я, надеюсь, ответил и на Ваше замечание.

К сожалению нет. Я вообще не понял, к чему Ваш последний пост.

Речь была о том, есть ли такие шары, которые не будут вынуты до полудня. Ваше сообщение по этому вопросу ничего не проясняет. А ведь можно уточнить условия задачи и так, и эдак: Можно вынимать один из последних шаров, тогда в коробке останутся шары, которые никогда не будут вынуты. Но мне такой вариант неинтересен, поскольку он не приводит к видимому противоречию. Мне интересно, что теоретико-множественники будут делать с такой постановкой задачи, согласно которой с одной стороны любой шар будет вынут, а с другой стороны в коробке останутся пронумерованные шары (т.е. ненулевое количество шаров).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 19:13 
Экс-модератор


17/06/06
5004
epros в сообщении #142409 писал(а):
А когда математика лишена какого бы то ни было практического смысла, то это хороший повод задуматься: А нужна ли такая математика вообще?
В данной конкретной задаче математика не особо нужна, согласен. А вот с выбрасыванием фтопку демонстрируемой в этой задаче теоремы я бы не спешил. Мало ли что может оказаться вместо шаров ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
AD писал(а):
А вот с выбрасыванием фтопку демонстрируемой в этой задаче теоремы я бы не спешил. Мало ли что может оказаться вместо шаров ...

Когда появится хотя бы намёк на идею о том, из чего реально можно собрать бесконечное множество, я тут же готов достать аксиому бесконечности и всё, что из неё следует, из топки. :)

А пока я не вижу смысла тратить интеллектуальный ресурс на подобные доказательства, ибо они очень похожи на расчёты количества чертей, которые могли бы поместиться на острие иглы.

P.S. Теоретико-множественный ответ на мой вопрос я, кажется, знаю. Но почему-то пока его мне здесь никто не изложил...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
epros в сообщении #142409 писал(а):
Лукомор, Вы тоже правы: в первоначальной постановке задачи не было сказано, какие именно из шаров достаются, и не возвращаются ли они обратно в коробку. Но давайте позволим уточнить условия задачи таким образом, что каждый раз вынимается шар, положенный раньше других, и при этом в коробку они не возвращаются.


Дж.Литлвуд. Математическая смесь. Москва, "Наука", 1990.

Обсуждаемый текст - на странице 9.

Дж.Литлвуд писал(а):
(5) Парадокс бесконечности. Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика - сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, оно отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.


По-моему, если не заниматься умственными извращениями, то текст понимается однозначно. А на всех извращенцев не угодишь.

epros в сообщении #142409 писал(а):
Каждая табличка по очереди, начиная с номера 1, перевешивается на шар, имевший табличку со следующим номером. Шар, освободившийся от таблички, вынимаем. Табличку, которую некуда перевесить, вешаем на новый шар.


Уже в ходе выполнения первого шага возникает проблема: куда повесить табличку номер 10, если осталось 9 шаров?

epros в сообщении #142409 писал(а):
По условиям выполнения процедуры все шары в коробке всегда пронумерованы, начиная с 1. При этом таблички с номерами никогда не вынимаются из коробки. Но в остальном всё так же, как и в Вашей постановке задачи: любой заданный шар рано или поздно будет вынут из коробки, т.е. в полдень ни одного шара в коробке не будет. Но табличка с номером 1 не вынималась из коробки, а значит она всё ещё там.


Да все таблички там.

epros в сообщении #142409 писал(а):
Причем она прикреплена на шаре!


Фигушки, я плотоядная. Она коснулась первого шара, потом второго, третьего и так далее, обойдя по очереди все шары. Шары были удалены, а табличка осталась.

Вы напрасно себя запутываете ещё и табличками. Шары и таблички здесь - два отдельных класса объектов, перекладываемых по своим правилам, и судьбы их не связаны.

Лукомор в сообщении #142470 писал(а):
Выводы из этих трех положений напрашиваются следующие:
1. Ящик $A$ опустеет раньше, чем ящик $B$.
...


Не напрашиваются.

Добавлено спустя 3 минуты 38 секунд:

epros в сообщении #142409 писал(а):
Вообще, "чистые математики" с точки зрения здравого смысла при решении подобных задач выглядят редкостными чудиками. Все прекрасно понимают, что какова бы ни была природа коробки и шаров, на практике всё закончится либо тем, что коробка переполнится, либо тем, что шаров больше не найдётся.


Какое это имеет отношение к "чистой математике"? Вы не в курсе, что математика занимается изучением отнюдь не реальных шаров и коробок, а абстрактных, идеальных объектов? А в данном случае "шары" и "коробки" - это даже не "идеализированные" шары и коробки, а просто условные наименования элементов и множеств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Someone в сообщении #142518 писал(а):
Вы не в курсе, что математика занимается изучением отнюдь не реальных шаров и коробок, а абстрактных, идеальных объектов?

Поддерживаю epros
И в данном конкретном случае математики занимаются подсчетом чертей на конце иглы, уверенные в глубине души в полезности этого занятия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Someone писал(а):
По-моему, если не заниматься умственными извращениями, то текст понимается однозначно. А на всех извращенцев не угодишь.

Я читал не этот источник, а форум. Очевидно, не на ту формулировку наткнулся. Но моё уточнение, как я понимаю, как раз ей соответствует.

Someone писал(а):
epros в сообщении #142409 писал(а):
Каждая табличка по очереди, начиная с номера 1, перевешивается на шар, имевший табличку со следующим номером. Шар, освободившийся от таблички, вынимаем. Табличку, которую некуда перевесить, вешаем на новый шар.

Уже в ходе выполнения первого шага возникает проблема: куда повесить табличку номер 10, если осталось 9 шаров?

Я же сказал: на новый шар (новые ведь кладём в коробку).

Someone писал(а):
epros в сообщении #142409 писал(а):
Причем она прикреплена на шаре!

Фигушки, я плотоядная. Она коснулась первого шара, потом второго, третьего и так далее, обойдя по очереди все шары. Шары были удалены, а табличка осталась.

Согласно описанной процедуре, удаляются только шары без табличек, а не из-под табличек. Табличка всё время находится на каком-нибудь шаре: если её не на что нацепить, то и снимать не будем (но такого быть не может, поскольку новый-то шар всегда найдётся).

Вообще-то я понимаю, что если биекция между множеством шаров и множеством табличек существует на каждом шаге до полудня, то отсюда не следует, что она существует в полдень. Но всё равно: с моей точки зрения это лишнее свидетельство маразматичности всех этих теоретико-множественных "переходов через бесконечность". Да и сам факт, что результат (сколько шаров осталось) зависим от того, какие именно мы шары вынимаем, при том, что различия между шарами для нас заведомо безразличны, - это полный абсурд.

Someone писал(а):
Вы напрасно себя запутываете ещё и табличками. Шары и таблички здесь - два отдельных класса объектов, перекладываемых по своим правилам, и судьбы их не связаны.

И это очень странно, что не связаны, хотя мы приложили все возможные старания к тому, чтобы их связать.

Но вообще-то мне вот ещё что любопытно. Как я понимаю, Вы делаете вывод о том, что множество пусто, на основании того, что положенный на любом шаге шар будет на некотором шаге удалён. А почему бы не проявить фантазию и не допустить, что останется такой шар, для которого невозможно указать на каком шаге он был положен? Раз невозможно указать, когда положен, то невозможно указать и когда будет удалён (и будет ли вообще?).

По крайней мере, если речь идёт не о собственно "бесконечном" количестве шагов, а просто об очень большом, то ситуация явно будет именно такова: шаров будет очень много и понять, какой это шаг и какие шары когда положены, уже практически невозможно.

Someone писал(а):
Какое это имеет отношение к "чистой математике"? Вы не в курсе, что математика занимается изучением отнюдь не реальных шаров и коробок, а абстрактных, идеальных объектов? А в данном случае "шары" и "коробки" - это даже не "идеализированные" шары и коробки, а просто условные наименования элементов и множеств.

Абстрагирование, идеализация - это вообще-то всего лишь обобщение частных случаев, отбрасывание некоторых индивидуальных характеристик. А если идеализация доходит до такого, чего в жизни в принципе никогда и близко не бывает, то на фига такая идеализация вообще нужна?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 21:03 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Someone писал(а):

Дж.Литлвуд писал(а):
(5) Парадокс бесконечности. Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика - сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, оно отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.


По-моему, если не заниматься умственными извращениями, то текст понимается однозначно. А на всех извращенцев не угодишь.


Если не заниматься умственными извращениями, то придется признать, что попытка создать "вечный двигатель" у Литлвуда не удалась.
КПД этого "девайса" будет равен 10%, поскольку для того, чтобы вынуть один шар необходимо вложить десять новых шаров, все остальное - мистика.

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

Someone писал(а):

Лукомор в сообщении #142470 писал(а):
Выводы из этих трех положений напрашиваются следующие:
1. Ящик $A$ опустеет раньше, чем ящик $B$.
...


Не напрашиваются.



Значит ящик $B$ опустеет раньше, чем ящик $A$ ???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Лукомор в сообщении #142526 писал(а):
КПД этого "девайса" будет равен 10%


Лукомор в сообщении #142526 писал(а):
Значит ящик $B$ опустеет раньше, чем ящик $A$ ???


Гы-гы-гы!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 07:46 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Someone в сообщении #142538 писал(а):
Гы-гы-гы!


Исключительное по глубине мысли замечание.
А главное - лаконично!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 11:26 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
Лукомор писал(а):
Someone в сообщении #142538 писал(а):
Гы-гы-гы!


Исключительное по глубине мысли замечание.
А главное - лаконично!


Не мельче Вашего упоминания вечного двигателя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 12:21 


29/06/08

137
Россия
Парадокс бесконечности Дж.Литлвуда - это ещё одна наглядная иллюстрация парадокса бесконечных множеств ( «часть равна целому»), который связан с выбором противоречивых критериев «равенства», то бишь, с различием целевых установок.
Множ-во (ящик) с бесконечным числом шаров разбивается на два подмнож-ва: подмнож-во «вкладываемых» шаров и подмно-во «изымаемых».
С точки зрения свойств элементов и процессов образования эти подмнож-ва разные и «не равны»: на каждые 10 вкладываемых в ящик шаров приходится только один изымаемый.
Но попробуйте обнаружить это, рассматривая только лишь номера шаров!
Каждому вкладываемому шару с некоторым номером k соответствует изымаемый шар с тем же номером - в результате делается вывод о том, что объединение этих подмнож-в будет пустым. С другой стороны, перед каждым изъятием одного k- го шара, в ящик поступает 10k шаров, т.е. кол-во вкладываемых шаров постоянно растет и как бы опережает их убыль.

Истина состоит в том, что ни в бесконечном множ-ве изымаемых, ни в бесконечном множ-ве вкладываемых в ящик шаров принципиально невозможно выбрать некий «последний» шар, равно как нельзя считать бесконечные процессы завершенными.
P.S. Аналогичный парадокс описан в научно-популярной брошюре И.В. Ященко «Парадоксы теории множеств», когда Дед Мороз ровно за минуту до полночи начинает раздавать детям конфеты и тут же забирает часть их обратно...;)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Captious писал(а):
Каждому вкладываемому шару с некоторым номером k соответствует изымаемый шар с тем же номером

Самое смешное, что если извлекать другие шары (не k-тые, а 10k-тые), то можно конкретно указать номера шаров, которые останутся! И это при том, что множество вкладываемых и множество вынимаемых шаров останутся "равными".

Captious писал(а):
...нельзя считать бесконечные процессы завершенными.

Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка: формально противоречивого утверждения в рамках теории множеств вывести не получается, значит соответствующей аксиоматикой можно пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 17:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Captious писал(а):
Множ-во (ящик) с бесконечным числом шаров разбивается на два подмнож-ва: подмнож-во «вкладываемых» шаров и подмно-во «изымаемых».

Ещё одна банальная некорректность. Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного. Посему разделение шаров на "вкладываемые" и "изымаемые" заведомо бессмысленно. (Ну тут и другие ляпы имеются.)

Добавлено спустя 10 минут 22 секунды:

epros писал(а):
Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка: формально противоречивого утверждения в рамках теории множеств вывести не получается, значит соответствующей аксиоматикой можно пользоваться.

Практика -- критерий истинности. Истинной может считаться любая теория, которая приводит к практическим успехам. Стандартная теория множеств к ним приводит. И чего ж ещё желать?

(Ньюансы, связанные с аксиомой выбора и прочими штучками -- вопрос отдельный. Я пока не слыхал, чтоб эти проблемы приводили к каким-либо практическим затруднениям.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
ewert писал(а):
Практика -- критерий истинности. Истинной может считаться любая теория, которая приводит к практическим успехам. Стандартная теория множеств к ним приводит. И чего ж ещё желать?

Ох, сказал бы я пару слов относительно этого "критерия", да не хочу здесь ударяться в философию. Ну, говоря вкратце: Если так рассуждать, то можно фактически любой концепции, к которой мы более-менее привыкли, приписать буквально все "практические успехи".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
ewert писал(а):
Ещё одна банальная некорректность. Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного. Посему разделение шаров на "вкладываемые" и "изымаемые" заведомо бессмысленно. (Ну тут и другие ляпы имеются.)

Вот Вы говорите время. В теоретико-множественной постановке его нет, от него абстрагируются. Все, что для вас есть - это последовательность кладки, вынимания. Вы так множество строите - кладете, вынимаете и т.д. до бесконечности.
А теперь "законный вопрос" - что же нам в итоге будет дано. Ваш ответ - пусто.
На каждом этапе имеем конечное множество, мощность которого от этапа к этапу возрастает.
Здесь в пределе получается бесконечное множество-немножество, данность которого вы не признаете (обозначим это термином - данность убогих). Теперь начинается метаданность - все, что было положено, рано или поздно будет вынуто - значит пусто? На самом деле на этапе метаданности нет смысла пудрить мозги кладками, выниманиями - имеем бесконечное множество, вычеркиваем каждый его элемент, в итоге, пусто.
Вопрос: когда наступит полдень - в данности убогих или в метаданности (в которой вообще нет времени)?
Только ответ нужно не постулировать, как раньше, а доказывать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 522 ]  На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group