Почему Ферма не мог доказать ВТФ?

[Antoshka]

Skovoroda в сообщении #1424211 писал(а):

Я так и не понял, мог ли Ферма доказать ВТФ?
А можно ли вообще доказать теорему Ферма элементарными математическими методами?

Уже писали, что это крайне маловероятно, поскольку ее доказательством занимались все кому не лень: от любителей до профессионалов, а это миллионы человек по всему миру. Понятно, что при таком натиске пропустить что-то почти невозможно. Тем не менее, в других областях, например древней истории, есть загадки, которые были разгаданы лишь через 100 с лишним лет, причём не лучшими специалистами мира. Например, иероглифы древних майя, насколько я помню, были разгаданы русским учёным, который даже ни разу не был в Мексике. Что касается ВТФ, то нечто элементарное в плане доказательства можно найти лишь для показателя 5, возможно 7. При показателе, большем 11, имеют место Пифагоровы тройки и это уже гораздо сложнее. Случай показателя 5 например можно свести к уравнению, которое имеет решение во взаимно простых числах только в виде степеней двойки и вывести отсюда противоречие. Если интересно, смотрите как показатель 5

[Skovoroda]

Я не понял, причем тут Пифагоровы тройки при показателе n большем 11.

[Лукомор]

Skovoroda в сообщении #1424211 писал(а):

А можно ли вообще доказать теорему Ферма элементарными математическими методами?

Весьма рекомендую популярно написанную книжку:
Саймон СИНГХ "ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет".

Читать ее можно прямо в браузере вот здесь:

http://ega-math.narod.ru/Singh/FLT.htm

Там, в частности, есть, в конце главы 3 (стр.111 в русском издании), интересная информация.

Цитата:

"Наконец, 24 мая (1847 года) было сделано заявление, которое положило конец всем домыслам.
К Академии (Французской Академии Наук) обратился (...) Жозеф Лиувилль.
Он поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого математика Эрнста Куммера"(...)

"Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей
существовавших математических подходов."

Что мы можем заключить из процитированного отрывка?

Указанное заседание проходило через 210 лет после того, как Ферма сформулировал свою теорему.
К тому времени "существовавшие математические подходы" были разработаны гораздо шире и глубже, нежели "элементарные математические методы".

Итак, Куммер показал, что доказательство теоремы Ферма лежит за пределами возможностей математики,
существовавших через 210 лет после Ферма. Выводы делайте сами...

[podih]

Лукомор в сообщении #1424385 писал(а):

Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей
существовавших математических подходов."

Лукомор в сообщении #1424385 писал(а):

Итак, Куммер показал, что доказательство теоремы Ферма лежит за пределами возможностей математики,
существовавших через 210 лет после Ферма.

"Лежало" и "лежит" относятся к разным временам. Куммер имел ввиду математику времён Ферма, а не своего времени.
Да и странно было бы от корифея слышать, что нынешних методов недостаточно для решения. Самонадеянно.

[Лукомор]

podih в сообщении #1424405 писал(а):

Куммер имел ввиду математику времён Ферма,

Нет.
Вы бы книжонку-то глянули, хотя бы вот конец третьей главы, последний ее параграф,
который называется "Запечатанные конверты".
Мне всё сюда цитировать длинновато получится...
Хотя нет, не длинно, вот основное:

Цитата:

Наконец 1 марта 1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний(...)
Габриель Ламе, семью годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n=7, взошел на трибуну перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая(...)
но едва Ламе покинул трибуну как слова попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши. Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство(...)
Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого математика Эрнста Куммера.(...)
По мнению Куммера, основная проблема заключалась в том, что доказательства Коши и Ламе опирались на использование свойства целых чисел, известного под названием единственности разложения на простые множители.(...)
Куммер отметил, что не существует известных математических методов, которые позволили бы единым махом рассмотреть все нерегулярные простые числа(...)
Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую трудную в мире математическую проблему.

Так что Куммер имел в виду не "математику времен Ферма", а целое поколение современных ему, Куммеру, математиков,
живших, я напоминаю, через два века после Ферма.
И за столетие до окончательного доказательства теоремы Уайлсом...

[podih]

Лукомор
Сначала вы привели неполную цитату. Затем разразились нотациями, хотя я ни разу не обязан был осуществлять ваше - задним числом возникшее - "хоть".
Но без менторства сама цитата - полная - смотрится конструктивно и однозначно.

[Лукомор]

podih в сообщении #1424423 писал(а):

Затем разразились нотациями, хотя я ни разу не обязан

Извините великодушно, не мыслил Вас задеть...

[boob]

wd40 в сообщении #1198720 писал(а):

Почему нельзя допустить, что есть способ проще, чем у Уайлса?

Есть гипотезы, которые не имеют доказательств даже в принципе: Теорема Неполноты Гёделя.

[Skovoroda]

Уважаемый boob!
А не могли бы Вы популярно объяснить в чем суть Теоремы Неполноты Гёделя
и в каких случаях она может быть использована для доказательства отсутствия доказательства?

[Someone]

Skovoroda в сообщении #1424516 писал(а):

А не могли бы Вы популярно объяснить в чем суть Теоремы Неполноты Гёделя

Она называется "теорема Гёделя о неполноте" и утверждает, что всякая формальная теория с рекурсивно перечислимым множеством аксиом, которая непротиворечива и в которой можно смоделировать арифметику Пеано, содержит утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории.

Skovoroda в сообщении #1424516 писал(а):

в каких случаях она может быть использована для доказательства отсутствия доказательства?

Ну, если Вы сможете доказать, что ваше утверждение в вашей теории равносильно тому самому утверждению, которое определено в доказательстве теоремы о неполноте, то можете сделать вывод, что ваше утверждение тоже нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Но для таких теорий, как арифметика Пеано или теория множеств, известны более интересные утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

[binki]

Не заходя в музей, трудно судить о его содержимом.
Уайлс создал сложный мат аппарат, который находился на границе его понимания не только у других математиков, но и у самого Уайлса. Это доказывается такими фактами. В первоначальном доказательстве вкралась такая тонкая ошибка, что Уайлс почти целый месяц не признавал её: "Я не мог немедленно ответить на заданный вопрос, который выглядел вполне невинно.. Мне казалось, что вопрос такого же порядка, что и другие, но где-то в сентябре я начал понимать, что речь шла не о какой-то незначительной трудности, а фундаментальном пробеле.....Даже для того, чтобы объяснить её математику, от последнего потребовалась бы готовность затратить два-три месяца для тщательного изучения рукописи с доказательством." Сам же он затратил на устранение ошибки более года.
А что если в таком сложном решении есть еще более тонкая ошибка?

[Antoshka]

binki в сообщении #1424707 писал(а):

Она называется "теорема Гёделя о неполноте" и утверждает, что всякая формальная теория с рекурсивно перечислимым множеством аксиом, которая непротиворечива и в которой можно смоделировать арифметику Пеано, содержит утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории.

В дифференциальной геометрии есть кривая Пеано. Это он самый?

[binki]

Antoshka в сообщении #1426119 писал(а):

В дифференциальной геометрии есть кривая Пеано. Это он самый?

Это к уважаемому Someone
Я же писал о том, что Уайлс оперировал сложным мат аппаратом, который находился на границе понимания самого автора, поэтому ему и пришлось исправлять тонкую ошибку.

[arseniiv]

Antoshka
Тривиальное гугление даёт ответ, что это действительно один и тот же Джузеппе Пеано, да.

[Antoshka]

Лукомор в сообщении #1424385 писал(а):

Что мы можем заключить из процитированного отрывка?

Указанное заседание проходило через 210 лет после того, как Ферма сформулировал свою теорему.
К тому времени "существовавшие математические подходы" были разработаны гораздо шире и глубже, нежели "элементарные математические методы".

Итак, Куммер показал, что доказательство теоремы Ферма лежит за пределами возможностей математики,
существовавших через 210 лет после Ферма. Выводы делайте сами...

А цитату из книги Панова как вы прокомментируйте? Наизусть не помню, но примерно так: "несмотря на то, что теорема доказана,и сейчас есть математики, которые хотят получить доказательство только с помощью тех средств, которые были доступны Ферма"? Куммер показал, судя по всему, что доказательство теоремы в общем случае лежало за пределами тогдашней теории чисел. А кто вообще сказал, что доказательство нужно искать именно в области теории чисел?