Многочлен

[waxtep]

Могу за $42$:
- сверху $9$ "одногорбиковых" горбов и $12$ "трехгорбиковых"; ровно один горбик касается прямой $y=1$; это $65$ корней $P(x)=1$ и $45$ корней производной;
- внизу $3$ одногорбиковых и $17$ трехгорбиковых; тоже ровно одно касание прямой $y=-1$; это $73$ корня $P(x)=-1$ (еще два получим бесплатно за счет направленности $P(x)$ рогами вниз) и $54$ корня производной, дебит с кредитом сошлись!

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1424218 писал(а):

Картинка иллюстративная. Разумеется, должны быть и кратные корни.

Оценка 139 - тоже иллюстративная, правильно "не менее 139" корней

-- 05.11.2019, 22:30 --

А вот ответ "42" - очень правдоподобен. Надо б еще оценку....

[waxtep]

DeBill в сообщении #1424237 писал(а):

А вот ответ "42" - очень правдоподобен. Надо б еще оценку....

Если не ошибаюсь, это оптимум: меньше, чем за $41=75+65-100+1$ "савсэм нэльзя", а осмысленную ситуацию, где происходит касание оси абсцисс, представить затрудняюсь

[DeBill]

waxtep
Ну да, можно попробовать обосновать типа так:
1. есть кратные точки (касание прямых на высоте 1 и -1)
2. у производной - не более 99 нулей
3. Эти нули разбивают прямую на (не более) 100 частей -интервалы монотонности
4. Нули многочленов $P(x)-1$ и $P(x)+1$ покрасим в красный и синий цвета соответственно. Интервал монотонности содержит не более одной красной и одной синей точки (при этом кратная синяя точка (она - разделяет интервалы) считается лежащей на обоих соседних интервалах; то же про красную).
5. Из 1) следует, что красных интервалов (т.е., содержащих красную точку) не мене 66, синих - не мене 76.
Частей - не боле 100, так что красно-синих интервалов не менее 42. Каждый из них содержит нуль многочлена.
Это дает нужную оценку.
О примере: да, качественно все выглядит правдоподобно. Но и только: для полной "правдости" нужно бы и что-то более "количественное"....

-- 05.11.2019, 23:10 --

Navid
Чтоб избежать неясностей, можно было бы везде добавить "различных" (а то блюстители нравственности строгости придираться будут: с учетом кратности али без считают корни? Хотя из контекста и ясно, что "без")

[waxtep]

Да, можно аккуратно расписать:
1. Пусть многочлен смотрит рогами вниз, не касается оси абсцисс (лишний корень без всякого толку) и не колеблется вокруг $-1$ по краям (если колеблется - можно спрятать эти колебания "внутрь", ничего не изменив).
2. Тогда и сверху и снизу могут быть только "горбы" с нечетным количеством "горбиков"; каждый горб с $2i-1$ горбиками может дать не более $2i$ пересечений с соответствующей прямой $y=\pm1$; и сверху и снизу нечетное число пересечений, и, поскольку, горбики - редкий ресурс (их не более $99$, и для достижения оптимума надо использовать все $99$ на полную катушку), разрешим только одному сверху и одному снизу касаться $y=\pm1$
3. Сверху на один горб больше, чем снизу.
4. Обозначим за $u_i$ количество горбов с $2i-1$ горбиками сверху, а за $d_j$ - аналогично снизу. Получим такую систему уравнений:

$$\begin{cases}\sum_i{(2i-1)u_i}+\sum_j{(2j-1)d_j}=99\\ \sum_i{2iu_i}=66\\ \sum_j{2jd_j}=74\\ \sum_i{u_i}=\sum_j{d_j}+1\end{cases}$$

откуда сразу получается $\sum_i{u_i}=21$, а это половина от искомого кол-ва различных корней $P(x)$