2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Многочлен
Сообщение31.10.2019, 01:15 


31/05/14
58
Многочлен $P(x)$ степени $100$ с вещественными коэффициентами таков, что $P(x)=1$
имеет $65$ корней, а $P(x) + 1$ имеет $75$ корней. Какое наименьшее число корней может
иметь многочлен $P(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение31.10.2019, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
"65 учеников курят, а 75 - пьют; сколько из них делают и то, и другое?"
Единственное отличие этого вопроса от исходного - что корни появляются и исчезают попарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение02.11.2019, 12:16 


31/05/14
58
ИСН в сообщении #1423161 писал(а):
"65 учеников курят, а 75 - пьют; сколько из них делают и то, и другое?"
Единственное отличие этого вопроса от исходного - что корни появляются и исчезают попарно.


Можете написать подробное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение02.11.2019, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Navid в сообщении #1423160 писал(а):
Многочлен $P(x)$ ...
имеет $65$ корней ... Какое наименьшее число корней может
иметь многочлен $P(x)$?

Мне кажется, что 65, наибольшее тоже 65.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение02.11.2019, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
bot
Вроде бы в условии сказано, что $P(x)-1$ имеет $65$, а $P(x)+1$ - $75$ корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение02.11.2019, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Долго пялился и всё-таки проглядел. И в самом деле сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 09:35 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Ну ответ явно больше 2. Где то 34-40. У производной $P'(x)$ максимум 99 корней, которые разбивают прямую максимум на 100 частей. В каждой из них максимум по 1 корню $P(x)+1$ и максимум по 1 корню $P(x)-1$. Между корнями разных многочленов находятся корни $P(x)$. И, да, их четное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Вот так сходу не вижу что мешает ответу быть единицей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 12:16 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
У многочлена 100 степени не может быть нечетное количество корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Это неинтересный ответ, сводящийся просто к тому, что задачи как таковой нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 13:32 


02/04/18
240
Null в сообщении #1424096 писал(а):
У многочлена 100 степени не может быть нечетное количество корней.

Ну вот, например, полином с ровно одним корнем: $(x-1)^1^0^0$.

А так задача решается графически: нужна некая кривая, которая 65 раз пересекает прямую $y=1$ (в т.ч. касается ее), 75 раз - $y=-1$, и при этом минимально возможно число раз она пересечет ось абсцисс...
Не забываем при этом, что количество минимумов И максимумов не превышает 99.

Без ограничения общностей можно считать, что сперва кривая взаимодейтсвует с верхней прямой, потом - поочередно, потом - только с нижней. Ну и дальше... все, вот вам и школьники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 15:20 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
А ну да кратные корни, но все равно 1 быть не может. 40 если я не обсчитался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Null в сообщении #1424137 писал(а):
А ну да кратные корни, но все равно 1 быть не может
Да, из-за четности хвостов. Это я уже узрел. Так что мой ответ: $2$.


Вложения:
-1.jpg
-1.jpg [ 37.33 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 19:28 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий
Не, не годидзе...
На картинке у производной 139 корней - многовато...

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
DeBill в сообщении #1424217 писал(а):
На картинке у производной 139 корней

Картинка иллюстративная. Разумеется, должны быть и кратные корни.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group