2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 20:25 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Могу за $42$:
- сверху $9$ "одногорбиковых" горбов и $12$ "трехгорбиковых"; ровно один горбик касается прямой $y=1$; это $65$ корней $P(x)=1$ и $45$ корней производной;
- внизу $3$ одногорбиковых и $17$ трехгорбиковых; тоже ровно одно касание прямой $y=-1$; это $73$ корня $P(x)=-1$ (еще два получим бесплатно за счет направленности $P(x)$ рогами вниз) и $54$ корня производной, дебит с кредитом сошлись!

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 20:29 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1424218 писал(а):
Картинка иллюстративная. Разумеется, должны быть и кратные корни.

Оценка 139 - тоже иллюстративная, правильно "не менее 139" корней

-- 05.11.2019, 22:30 --

А вот ответ "42" - очень правдоподобен. Надо б еще оценку....

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 20:43 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
DeBill в сообщении #1424237 писал(а):
А вот ответ "42" - очень правдоподобен. Надо б еще оценку....
Если не ошибаюсь, это оптимум: меньше, чем за $41=75+65-100+1$ "савсэм нэльзя", а осмысленную ситуацию, где происходит касание оси абсцисс, представить затрудняюсь :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 21:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
waxtep
Ну да, можно попробовать обосновать типа так:
1. есть кратные точки (касание прямых на высоте 1 и -1)
2. у производной - не более 99 нулей
3. Эти нули разбивают прямую на (не более) 100 частей -интервалы монотонности
4. Нули многочленов $P(x)-1$ и $P(x)+1$ покрасим в красный и синий цвета соответственно. Интервал монотонности содержит не более одной красной и одной синей точки (при этом кратная синяя точка (она - разделяет интервалы) считается лежащей на обоих соседних интервалах; то же про красную).
5. Из 1) следует, что красных интервалов (т.е., содержащих красную точку) не мене 66, синих - не мене 76.
Частей - не боле 100, так что красно-синих интервалов не менее 42. Каждый из них содержит нуль многочлена.
Это дает нужную оценку.
О примере: да, качественно все выглядит правдоподобно. Но и только: для полной "правдости" нужно бы и что-то более "количественное"....

-- 05.11.2019, 23:10 --

Navid
Чтоб избежать неясностей, можно было бы везде добавить "различных" (а то блюстители нравственности строгости придираться будут: с учетом кратности али без считают корни? Хотя из контекста и ясно, что "без")

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение05.11.2019, 23:38 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Да, можно аккуратно расписать:
1. Пусть многочлен смотрит рогами вниз, не касается оси абсцисс (лишний корень без всякого толку) и не колеблется вокруг $-1$ по краям (если колеблется - можно спрятать эти колебания "внутрь", ничего не изменив).
2. Тогда и сверху и снизу могут быть только "горбы" с нечетным количеством "горбиков"; каждый горб с $2i-1$ горбиками может дать не более $2i$ пересечений с соответствующей прямой $y=\pm1$; и сверху и снизу нечетное число пересечений, и, поскольку, горбики - редкий ресурс (их не более $99$, и для достижения оптимума надо использовать все $99$ на полную катушку), разрешим только одному сверху и одному снизу касаться $y=\pm1$
3. Сверху на один горб больше, чем снизу.
4. Обозначим за $u_i$ количество горбов с $2i-1$ горбиками сверху, а за $d_j$ - аналогично снизу. Получим такую систему уравнений:$$\begin{cases}\sum_i{(2i-1)u_i}+\sum_j{(2j-1)d_j}=99\\
\sum_i{2iu_i}=66\\
\sum_j{2jd_j}=74\\
\sum_i{u_i}=\sum_j{d_j}+1\end{cases}$$откуда сразу получается $\sum_i{u_i}=21$, а это половина от искомого кол-ва различных корней $P(x)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group