Вычисление символов Кристоффеля

[Утундрий]

Не нужно формул, напишите ответ.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423773 писал(а):

Не нужно формул, напишите ответ.

Смешно звучит, но я не могу понять, что будет нашем ответом. Я не могу (не умею) вычислять такое.
То есть, я неверно выразился, я не могу понять, что за элемент $g_{\operatorname{ip}}$, например. И какой будет производная от нее по $x^{\operatorname{1}}$.
Я понимаю, что это элемент матрицы, стоящий в $1$-ой строке, на $p$-ом месте. Если я правильно понимаю, то каждый элемент $1$-ой строки будет содержать $x^{\operatorname{1}}$ плюс еще какое-то слагаемое, зависящее от конкретного номера $p$. Тогда индекс $p$ мы можем не учитывать даже, так как производная от любого элемента матрицы (производная по $x^{\operatorname{1}}$, конечно же), будет либо равна $2$ (если элемент стоит на главной диагонали), либо же 1, так как в каждом элементе первой строки есть $x^{\operatorname{1}}$. Поправьте меня, если я ошибаюсь

[Утундрий]

Пусть требуется найти $y_{ik} = x_i + x_k $, если $i \in \{ 1,2\} ,k \in \{ 1,2\} $ и $x_1 = 1,x_2 = 3$. Что бы тут могло быть ответом?

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423799 писал(а):

Пусть требуется найти $y_{ik} = x_i + x_k $, если $i \in \{ 1,2\} ,k \in \{ 1,2\} $ и $x_1 = 1,x_2 = 3$. Что бы тут могло быть ответом?

Очевидно, что

$$\begin{pmatrix} 2&4\\ 4&6 \end{pmatrix}$$

[Утундрий]

Ну а если там будет 4 индекса, тессеракт нарисуете? Я же просил - покомпонентно.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423821 писал(а):

Ну а если там будет 4 индекса, тессеракт нарисуете? Я же просил - покомпонентно.

$y_{11}=2$, $y_{12}=4$, $y_{21}=4$, $y_{22}=6$

[Утундрий]

Вот и с гаммами точно так же...

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423823 писал(а):

Вот и с гаммами точно так же...

Если я правильно понял, то получится

$$\Gamma_{\operatorname{11}}^{\operatorname{1}}=g^{\operatorname{1p}}$$

$$\Gamma_{\operatorname{12}}^{\operatorname{1}}=\frac{1}{2}g^{\operatorname{1p}}$$

[Утундрий]

Вернёмся назад.

toshqaaa в сообщении #1423104 писал(а):

$g_{ij}=x^{i}+x^{j}+\delta_{ij}$

Конфуций сказал:

$$\Gamma _{ijk} : = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial g_{ij} }}{{\partial x^k }} - \frac{{\partial g_{jk} }}{{\partial x^i }} + \frac{{\partial g_{ki} }}{{\partial x^j }}} \right)$$

откуда немедленно следует

$$\[ \begin{gathered} \Gamma _{111} = \frac{1} {2}\frac{{\partial g_{11} }} {{\partial x^1 }} = \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^1 }}\left( {2x^1 } \right) = 1 \hfill \\ \Gamma _{112} = \frac{1} {2}\left( {\frac{{\partial g_{11} }} {{\partial x^2 }} - \frac{{\partial g_{12} }} {{\partial x^1 }} + \frac{{\partial g_{21} }} {{\partial x^1 }}} \right) = \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^2 }}\left( {2x^1 } \right) - \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^1 }}\left( {x^1 + x^2 } \right) + \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^1 }}\left( {x^2 + x^1 } \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \] $$

и далее в том же духе.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423830 писал(а):

Вернёмся назад.

toshqaaa в сообщении #1423104 писал(а):

$g_{ij}=x^{i}+x^{j}+\delta_{ij}$

Конфуций сказал:

$$\Gamma _{ijk} : = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial g_{ij} }}{{\partial x^k }} - \frac{{\partial g_{jk} }}{{\partial x^i }} + \frac{{\partial g_{ki} }}{{\partial x^j }}} \right)$$

откуда немедленно следует

$$\[ \begin{gathered} \Gamma _{111} = \frac{1} {2}\frac{{\partial g_{11} }} {{\partial x^1 }} = \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^1 }}\left( {2x^1 } \right) = 1 \hfill \\ \Gamma _{112} = \frac{1} {2}\left( {\frac{{\partial g_{11} }} {{\partial x^2 }} - \frac{{\partial g_{12} }} {{\partial x^1 }} + \frac{{\partial g_{21} }} {{\partial x^1 }}} \right) = \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^2 }}\left( {2x^1 } \right) - \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^1 }}\left( {x^1 + x^2 } \right) + \frac{1} {2}\frac{\partial } {{\partial x^1 }}\left( {x^2 + x^1 } \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \] $$

и далее в том же духе.

Как я понял, тут идет вычисление символов Кристоффеля 1-го рода. Думаю, что в случае, когда $i=g=k$, $\Gamma_{\operatorname{ijk}}=1$, в противном случае - нули.

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1423832 писал(а):

Думаю, что в случае, когда $i=g=k$, $\Gamma_{\operatorname{ijk}}=1$, в противном случае - нули.

Поздравляю с гипотезой. Сможете её проверить самостоятельно?

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423834 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1423832 писал(а):

Думаю, что в случае, когда $i=g=k$, $\Gamma_{\operatorname{ijk}}=1$, в противном случае - нули.

Поздравляю с гипотезой. Сможете её проверить самостоятельно?

Да думаю это и так теперь понятно, проверю.
А дальше как быть? Получается, что мы должны теперь поднять индексы у метрического тензора, и... все? Но и тут вопрос для меня не ясен как это сделать. Единственное, что понимаю - поднять индексы $=$ найти обратную матрицу к $g_{ij}$

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1423836 писал(а):

найти обратную матрицу к $g_{ij}$

Это будет нетрудно, если учесть что в нулевой точке...

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423838 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1423836 писал(а):

найти обратную матрицу к $g_{ij}$

Это будет нетрудно, если учесть что в нулевой точке...

То есть я правильно мыслю:

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{\operatorname{ij}}\Gamma_{ijk}?$$

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1423839 писал(а):

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{\operatorname{ij}}\Gamma_{ijk}?$$

Слева $_{ij}^k $, справа $_k^{} $ - нехорошо.