Многочлен

[Navid]

Многочлен $P(x)$ степени $100$ с вещественными коэффициентами таков, что $P(x)=1$
имеет $65$ корней, а $P(x) + 1$ имеет $75$ корней. Какое наименьшее число корней может
иметь многочлен $P(x)$?

[ИСН]

"65 учеников курят, а 75 - пьют; сколько из них делают и то, и другое?"
Единственное отличие этого вопроса от исходного - что корни появляются и исчезают попарно.

[Navid]

ИСН в сообщении #1423161 писал(а):

"65 учеников курят, а 75 - пьют; сколько из них делают и то, и другое?"
Единственное отличие этого вопроса от исходного - что корни появляются и исчезают попарно.

Можете написать подробное решение?

[bot]

Navid в сообщении #1423160 писал(а):

Многочлен $P(x)$ ...
имеет $65$ корней ... Какое наименьшее число корней может
иметь многочлен $P(x)$?

Мне кажется, что 65, наибольшее тоже 65.

[Утундрий]

bot
Вроде бы в условии сказано, что $P(x)-1$ имеет $65$, а $P(x)+1$ - $75$ корней.

[bot]

Долго пялился и всё-таки проглядел. И в самом деле сказано.

[Null]

Ну ответ явно больше 2. Где то 34-40. У производной $P'(x)$ максимум 99 корней, которые разбивают прямую максимум на 100 частей. В каждой из них максимум по 1 корню $P(x)+1$ и максимум по 1 корню $P(x)-1$. Между корнями разных многочленов находятся корни $P(x)$. И, да, их четное число.

[Утундрий]

Вот так сходу не вижу что мешает ответу быть единицей.

[Null]

У многочлена 100 степени не может быть нечетное количество корней.

[Утундрий]

Это неинтересный ответ, сводящийся просто к тому, что задачи как таковой нет.

[Dendr]

Null в сообщении #1424096 писал(а):

У многочлена 100 степени не может быть нечетное количество корней.

Ну вот, например, полином с ровно одним корнем: $(x-1)^1^0^0$.

А так задача решается графически: нужна некая кривая, которая 65 раз пересекает прямую $y=1$ (в т.ч. касается ее), 75 раз - $y=-1$, и при этом минимально возможно число раз она пересечет ось абсцисс...
Не забываем при этом, что количество минимумов И максимумов не превышает 99.

Без ограничения общностей можно считать, что сперва кривая взаимодейтсвует с верхней прямой, потом - поочередно, потом - только с нижней. Ну и дальше... все, вот вам и школьники.

[Null]

А ну да кратные корни, но все равно 1 быть не может. 40 если я не обсчитался.

[Утундрий]

Null в сообщении #1424137 писал(а):

А ну да кратные корни, но все равно 1 быть не может

Да, из-за четности хвостов. Это я уже узрел. Так что мой ответ: $2$.

[DeBill]

Утундрий
Не, не годидзе...
На картинке у производной 139 корней - многовато...

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1424217 писал(а):

На картинке у производной 139 корней

Картинка иллюстративная. Разумеется, должны быть и кратные корни.