Корреляционная функция и преобразование Фурье

[photon]

Дана корреляционная функция $<x(t)y(t')>=\delta (t-t')$. $t,t'$ - два момента времени, $<>$ обозначают среднее.
Как используя преобразование Фурье $\tilde x (t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-i\omega t} dt$ (в обратном множитель $\frac{1}{2\pi}$) показать, что его корреляционная функция равна $<\tilde x (\omega) \tilde y (\omega')>=2\pi\delta(\omega+\omega')$.

[Brukvalub]

photon в сообщении #142351 писал(а):

Дана корреляционная функция $<x(t)y(t')>=\delta (t-t')$. $t,t'$ - два момента времени, $<>$ обозначают среднее.

Мне непонятно: правая часть процитированного мной равенства является определением его левой части, или выражает факт, полученный путем вычисления левой части по некоторому правилу?

[nestoklon]

А нельзя тут воспользоваться тем, что интеграл произведения равен свёртке фурье-образов? А потом воспользовавшись определением корреляционной функции что-то сделать со свёрткой?
Вроде как в корреляторе должен быть интеграл произведения, да и то, что минус на плюс меняется... Хотя было бы лучше если бы вы выписали определение $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Я не уверен, что правильно понимаю это обозначение.

ЗЫ Не исключено, что написанное вами это тупо теорема о свёртке кстати.

[photon]

Brukvalub писал(а):

Мне непонятно: правая часть процитированного мной равенства является определением его левой части, или выражает факт, полученный путем вычисления левой части по некоторому правилу?

Понимать его надо ровно так, как оно появляется в уравнении для броуновской частицы. В одномерном случае там говорится, что среднее от случайной силы по последовательным наблюдениям одной частицы (или ансамблю) равно нулю и сила быстро меняется со временем, что выражается как дельта-корреляция. То есть это все-таки определение. То определение, что написал я, можно рассматривать как двухмерную задачу. Перед дельта-функцией еще должна стоять матрица, но поскольку ее элементы постоянны, то я ее сознательно опустил. Получается, что это определение встречается на каждом углу, а соотношение для корреляции преобразований фурье нигде не проскальзывает.

Там, где мне встретился этот вопрос, дословно было написано следующее. "Пусть $x_i(t)$ гауссовский шум с нулевым средним и корреляционной функцией $<x_i(t)x_j(t')>=const \ \delta (t-t')$. Это уравнение подразумевает, что шум белый, то есть преобразование Фурье его корреляционной функции не зависит от частоты." Потом пара фраз, не имеющих отношения к делу, после чего написано: "преобразование Фурье $\tilde x_i (t)$ имеет корреляционную функцию $<\tilde x_i (\omega) \tilde x_j (\omega')>=const(2\pi)\delta(\omega+\omega')$.

[LynxGAV]

$\tilde x_i(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega t }x_i(t)dt$.

$<\tilde x_i(\omega)\tilde x_j(\omega')>=\int\int e^{-i\omega t-i\omega't'}<x_i(t)x_j(t')>dt \ dt'$
$<\tilde x_i(\omega)\tilde x_j(\omega')>=\int\int e^{-i\omega t-i\omega't'}const \ \delta(t-t')dt \ dt'$
$<\tilde x_i(\omega)\tilde x_j(\omega')>=\int(\int e^{-i\omega t-i\omega't'}const \ \delta(t-t')dt') \ dt$
$<\tilde x_i(\omega)\tilde x_j(\omega')>=\int e^{-i(\omega +\omega')t}const \ dt$
$<\tilde x_i(\omega)\tilde x_j(\omega')>=const2\pi \delta(\omega +\omega')$

[photon]

спасибо