Вращающийся куб

[nnosipov]

wrest в сообщении #1423095 писал(а):

а параллелепипед

Так будет же аффинный образ заточенного гиперболоида, т.е. то же самое. Хотя ... возможно, что и нет (аффинное преобразование не обязано быть ортогональным).

[wrest]

nnosipov в сообщении #1423099 писал(а):

Так будет же аффинный образ заточенного гиперболоида, т.е. то же самое.

Нет,не то же самое. У куба один гиперболоид и один конус. У параллелепипеда будет по два гиперболоида и по два конуса. Т.е. тело будет более "слоёное".

[Eule_A]

wrest в сообщении #1423100 писал(а):

У параллелепипеда будет по два гиперболоида и по два конуса.

Вы это не строили? Интересно было бы посмотреть, как происходит плавный переход к случаю куба.
(Вообще, на первый взгляд кажется странным, что именно два гиперболоида - но это, наверное, недостаток воображения моего.)

[nnosipov]

wrest в сообщении #1423100 писал(а):

У параллелепипеда будет по два гиперболоида и по два конуса.

Кажется, да. А Вы нарисовали и посмотрели или вообразили в уме?

[wrest]

nnosipov в сообщении #1423102 писал(а):

Кажется, да. А Вы нарисовали и посмотрели или вообразили в уме?

Мне очень неловко, но я это нагуглил...

Это параллелепипед с ребрами 1,2,3

[Dan B-Yallay]

Eule_A в сообщении #1423101 писал(а):

(Вообще, на первый взгляд кажется странным, что именно два гиперболоида - но это, наверное, недостаток воображения моего.)

У произвольного параллелепипеда получается 3 линии (ребра), скрещивающиеся с осью вращения, поэтому я бы ожидал 3 гиперболоида, разве что один из них будет полностью "заметаться" другим. Аналогично с конусами.

По два того и другого могут быть в очевидном случае, когда одна пара граней параллелепипеда - квадраты.

[Eule_A]

Dan B-Yallay в сообщении #1423117 писал(а):

поэтому я бы ожидал 3 гиперболоида

Вот я о таком случае как раз подумал. Он, видимо, самый общий.

[Munin]

1)

Eule_A в сообщении #1422819 писал(а):

Систему координат выберем так, чтобы ось вращения принадлежала оси аппликат.

А разве не проще было бы ось вращения выбрать $x=y=z$?

2) Конусы - это тоже гиперболоиды, только вырожденные.

3)

nnosipov в сообщении #1423083 писал(а):

$n$-мерный вариант этой задачи тоже кажется небезинтересным

Должно получиться "катушечное веретено" из $n$ гиперболоидов (в смысле (2) выше; в случае $n=3$ имеем 3 гиперболоида).

Уравнение каждого гиперболоида, кмк, удобнее всего подбирать в с.к. (1), поскольку оно однозначно задаётся условием, что в этой поверхности должно лежать $\geqslant n$ прямых линий, попросту равных рёбрам куба (какие именно рёбра брать, можно посчитать от вершины куба в двоичной системе). Зная это условие, уравнение можно найти каким-нибудь автоматическим методом типа "через СЛАУ" post1403924.html#p1403924 credit Padawan.

Надеюсь, я сообщаю нечто достаточно интересное, чтобы оправдать заглядывание в эту тему после столь длительного времени...