Вращающийся куб

[Eule_A]

Предложу несложную задачу. Пусть имеется куб с известной стороной. Будем вращать его вокруг вокруг главной диагонали. При этом его точки будут заметать некоторое тело вращения. Предлагается найти уравнение поверхности этого тела. Систему координат выберем так, чтобы ось вращения принадлежала оси аппликат. Начало координат - в центре куба.

[Утундрий]

Получится заточенный с двух сторон карандаш.

[Dan B-Yallay]

Вроде как однополостной гиперболоид, заточенный с двух сторон.

[Eule_A]

Обоим высказавшимся отдельное спасибо за образность мышления (Особенно заточенный гиперболоид - это здорово.) Но хотелось бы всё-таки уравнение видеть.

[Dan B-Yallay]

Почти нашёл...

Вложение:

cubr.jpg

Собственно, из рисунка ход мыслей должен быть виден. Если не проврался, то уравнения конусов должны быть:

$$ z^2 = \pm \Big(\frac{\sqrt 2}{2}(x^2+y^2) - \frac {\sqrt 3}{2} \Big), \qquad z \in (-\sqrt {3}/2, -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}, \sqrt {3}/2) $$

Bот уравнение гиперболы по трём точкам сразу не нашёл и выводить лень, соответственно и уравнения гиперболоида нету.

(Оффтоп)

А почему это именно гиперболоид? См. хотя бы Теорему 1 тута:

https://mash-xxl.info/article/184426/

Ну, или вспомнить макеты:

[wrest]

Конусы: высота $h=\sqrt{3}/3$;радиус основания $r=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ расстояние от начала координат до основания $\sqrt{3}/6$
Гиперболы гиперболоида: полуоси $a=\sqrt{2}/2;b=1/2$; расстояние от начала координат до фокусов $c=\sqrt{3}/2$; толщина $h=\sqrt{3}/3$

... а в качестве бонуса, посчитать
-- площадь этой поверхности
-- объем ограниченного ей тела

[Eule_A]

wrest
Вы бы, чем столько подробностей приводить, лучше само уравнение выписали. Оно было бы не менее красноречивым. Скорее даже более. А картинка красивая.

wrest в сообщении #1422888 писал(а):

а в качестве бонуса, посчитать

Ну, это уже неинтересно. Я сознательно не стал эти вопросы включать: две формулы - и дело в шляпе. К тому же исходная задача не требовала привлечения высокой математики. Я её так - в порядке небольшого развлечения на вечер привёл. Другое дело, если бы эти величины находились без знания уравнения поверхности (которое так и не появилось - в третий раз говорю я )

Dan B-Yallay
Ваша трёхмерная картинка весьма похожа на то, что было у меня в решении. Только я намеренно не стал утверждениями, на которые Вы ссылались, пользоваться. Поэтому у меня чертежи были немного повеселее: там в сечении куба шестиугольники ведь получаются не только правильные.

[wrest]

Eule_A в сообщении #1422890 писал(а):

Вы бы, чем столько подробностей приводить, лучше само уравнение выписали.

"Верхний" конус: $z=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2(x^2+y^2)})$, где $z \ge \sqrt{3}/6$
Гиперболоид: $z^2=\dfrac{3(x^2+y^2)-1}{4}$ , где $-\sqrt{3}/6 \le z \le \sqrt{3}/6$
"Нижний" конус: $z=\dfrac{1}{2}(\sqrt{2(x^2+y^2)}-\sqrt{3})$, где $z\le-\sqrt{3}/6$

[nnosipov]

Задача про объем этой штуки довольно старая (была опубликована в Amer. Math. Monthly где-то в 30-х годах прошлого века). Ее можно найти под номером 307 в книге: Избранные задачи. Сборник. Пер. с англ. Ю.А. Данилова. Под ред. и с предисл. В.М. Алексеева. М., Мир, 1977.

$n$-мерный вариант этой задачи тоже кажется небезинтересным (добавлю в коллекцию геометрических образов слово "веретено").

[Eule_A]

nnosipov
Я на новизну и не претендовал... Слишком несложная конфигурация, чтобы до меня никто ей не заинтересовался. А объём считается, исходя из уравнения поверхности всё-таки, да?

-- 30.10.2019, 20:21 --

wrest
За картинку спасибо! У меня уравнение коэффициентом отличается - я проверю своё вычисление позже.

[nnosipov]

Eule_A
Да, уравнение гиперболы выписывается.

[EUgeneUS]

Веретено в середине выпукло, а не вогнуто.

Цитата:

По сходству с веретеном многие в целом цилиндрические структуры, заострённые с концов и слегка расширяющиеся посередине, получили название веретеновидных.

Клостридии не дадут соврать

[Eule_A]

nnosipov
Понятно. Значит, чудес, как обычно, не бывает. Спасибо!

EUgeneUS
Кубовращательное тело? Так лучше?

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1423086 писал(а):

Веретено в середине выпукло, а не вогнуто.

Наверное. Последний раз я его видел очень давно. В общем, я хотел намекнуть, что эта штука будет длинной.

Впрочем, ничего аккуратно я сам не считал. Попробовал дать своим школьникам как исследовательскую задачу, но никто не заинтересовался.

[wrest]

nnosipov
Зато если взять не куб, а параллелепипед, вытянутый как вы хотите, и вращаемый вокруг главной оси, фигурки получаются кузявые, и уже не такие простые как с кубом.