Уравнение в натуральных числах; найти наименьшее решение

[daogiauvang]

Пусть $a,b,c,d $ положительные целые числа причем $ a= \frac{b^b-c^c}{d^d} $.
Найти наименьшее значение $a$
Думаю что, $a=3$ но когда $a=1;2$ Я уже не доказал что У управнения нет решений

[ddn]

daogiauvang писал(а):

Пусть $a,b,c,d $ положительные целые числа причем $ a= \frac{b^b-c^c}{d^d} $.
Найти наименьшее значение $a$
Думаю что, $a=3$ но когда $a=1;2$ Я уже не доказал что У управнения нет решений

Все просто: $b^b=c^c+ad^d$.
Очевидно $b>c$ и $b>d$.
При $b\geqslant a+1$ имеем $b^b>b\cdot(b-1)^{b-1}\geqslant (a+1)\cdot\max(c^c,d^d)\geqslant c^c+ad^d$, то есть $b^b>c^c+ad^d$.
Для $a=1$ проверим $b=1$ - положительных $c<b$ и $d<b$ нет, решений нет.
Для $a=2$ проверим $b=1;2$ - единственный подходящий набор $b=2$, $c=d=1$ дает $b^b=2^2=4>c^c+ad^d=1^1+2\cdot1^1=3$ - не подходит, решений нет.
Для $a=3$ проверим $b=1;2;3$ - подходящие наборы:
$b=2$, $c=d=1$ дает $4=4$;
$b=3$, $c=d=1$ дает $27>4$;
$b=3$, $c=2$, $d=1$ дает $27>7$;
$b=3$, $c=1$, $d=2$ дает $27>13$;
$b=3$, $c=d=2$ дает $27>16$
- единственное решение $b=2$, $c=d=1$.

Минимальное $a=3$.