Вероятность нахождения вне светового конуса (КТП)

[Labuda]

Как известно, функция Грина для уравнения Клейна-Гордона скалярного поля (пропагатор Фейнмана) дает амплитуду распространения частицы от начала координат до определенной точки пространства-времени. Посчитав этот пропагатор мы находим, что он экспоненциально убывает для пространственноподобного интервала (но не равен нулю). Говорят, что это не проблема, ведь пропагатор в данном случае описывает виртуальные частицы, а на них СТО не распространяется (и вообще, они не лежат на массовой оболочке). Более того, виртуальные частицы относятся к внутренним линиям в диаграмме Фейнмана, которые сами по себе не несут физического смысла (это просто некий мат. расчет).

Но ведь уравнение КГ описывает любые частицы с нулевым спином, включая тот же бозон Хиггса (скалярное поле). $\left \langle x|0 \right \rangle$ (здесь 0 обозначает рождение в точке 0, а не вакуум) для поля удовлетворяющего уравнение КГ, это пропагатор Фейнмана если время точки $x$ положительно и, соответственно, квадрат этой амплитуды дает вероятность нахождения частицы в любой точке. Рассмотрим теперь один бозон Хиггса в вакууме. Какова вероятность найти его в точке $(x,t)$ пространства-ремени если $t$ положительно? Согласно КТП эта вероятность дается $\left \langle x|0 \right \rangle$. Но ведь в таком случае есть ненулевая вероятность найти эту (невиртуальную) частицу вне светового конуса. Означает ли это, что бозон Хиггса может "убежать" за границы светового конуса в вакууме и тем самым нарушить СТО?

[Gickle]

Labuda в сообщении #1420415 писал(а):

Говорят, что это не проблема, ведь пропагатор в данном случае описывает виртуальные частицы

Кто так говорит?

Labuda в сообщении #1420415 писал(а):

Более того, виртуальные частицы относятся к внутренним линиям в диаграмме Фейнмана, которые сами по себе не несут физического смысла (это просто некий мат. расчет).

Уравнение Клейна-Гордона -- свободное, там нет никаких взаимодействий. О каких внутренних линиях тогда речь идёт?

Какие вещи на самом деле принято говорить, можно, например, в Пескине-Шрёдере посмотреть (параграф 2.4). Прочитайте для начала, что там написано. Может, все вопросы и исчезнут.

[Labuda]

Gickle в сообщении #1420472 писал(а):

Кто так говорит?

Например здесь и более подробно здесь (Гл. 16).

Gickle в сообщении #1420472 писал(а):

Уравнение Клейна-Гордона -- свободное, там нет никаких взаимодействий. О каких внутренних линиях тогда речь идёт?

(Цитата из книги)

[Gickle]

Labuda
А, ну да, теперь понял, что имелось в виду там. Внутренним линиям в пертурбативных вычислениях действительно соответствуют голые пропагаторы. И виртуальные частицы действительно не обязаны лежать на массовой поверхности.

Можно сказать, что тогда у причинности появляются проблемы для свободной теории, поскольку там никаких внутренних линий нет, а голый пропагатор, если желаете, является точным решением. Но на самом деле то, что он не равен нулю вне массовой поверхности, не имеет особого значения. Что реально является важным, так это может ли измерение в точке $x$ повлиять на измерение в точке $y$, если интервал $x - y$ является пространственноподобным. За подробностями отсылаю опять же к Пескину-Шрёдеру.

[Labuda]

Gickle в сообщении #1420495 писал(а):

А, ну да, теперь понял, что имелось в виду там. Внутренним линиям в пертурбативных вычислениях действительно соответствуют голые пропагаторы. И виртуальные частицы действительно не обязаны лежать на массовой поверхности.
Можно сказать, что тогда у причинности появляются проблемы для свободной теории, поскольку там никаких внутренних линий нет, а голый пропагатор, если желаете, является точным решением. Но на самом деле то, что он не равен нулю вне массовой поверхности, не имеет особого значения. Что реально является важным, так это может ли измерение в точке $x$ повлиять на измерение в точке $y$, если интервал $x - y$ является пространственноподобным. За подробностями отсылаю опять же к Пескину-Шрёдеру.

Да, спасибо за отсылку к Пескину-Шрёдеру. Я понимаю о чем они там говорят, но все же аргумент "лучше смотреть не на амплитуду а на комутатор" не слишком убедителен. Как минимум, хотелось бы понять мотивацию. Ведь изначально утверждается, что пропагатор дает амплитуду распространения из одной точки пространства-времени в другую, т.е. имеет вполне конкретный физический смысл. Правильно ли я понимаю, что в КТП в отличии от нерелятивистской (одночастичной) квантовой теории, оператор $\phi(x)$ не соответствует обнаружению некой одной уникальной частицы а обнаружению одной частицы из бесконечного ансамбля тождественных частиц? Если так, то этот "парадокс" можно разрешить следующим образом: $\left \langle 0 | \psi(x) \psi(y) | 0 \right \rangle \neq 0$ для пространственноподобного интервала $x-y$ не означает, что частица преодолела этот интервал "быстрее" скорости света, ведь речь идет о двух разных частицах.
Еще в литературе часто встречается такой аргумент: $\psi(x) | 0 \rangle$ не может представлять локализованную частицу и потому $\left \langle 0 | \psi(x) \psi(y) | 0 \right \rangle \neq 0$ не является амплитудой распространения. При такой интерпретации, только у комутатора есть физический смысл.

[Gickle]

Labuda
Много всяких слов написано, конечно. Может, кто придёт, ответит на них, я просто не люблю в долгие дискуссии вступать. Лучше задам наводящий вопрос: является ли оператор $\varphi(x)\varphi(y)$ эрмитовым?

[Labuda]

Gickle в сообщении #1420520 писал(а):

Лучше задам наводящий вопрос: является ли оператор $\varphi(x)\varphi(y)$ эрмитовым?

В общем случае нет (даже когда речь идет о вещественном скалярном поле).

[physicsworks]

Много здесь наговорили, так что не хочется разбирвать на цитаты. Поэтому попробую объяснить последовательно, поскольку похожие вопросы возникают довольно часто при изучении КТП. Везде где не оговорено я буду подразумевать свободное поле (т.е. не взаимодействующее, для которого практически все остается верным, но нужны более сложные выкладки).
В обычной нерялитивистской квантовой механике все самосопряженные операторы наблюдаемые. В КТП из-за причинности появляется ограничение на наблюдаемые $\mathcal{O}_1$ и $\mathcal{O}_2$: если я померял $\mathcal{O}_1$ с какой-то точностью в пространственно-временной точке $x$, то это измерение не может повлиять на измерение $\mathcal{O}_2$ с какой-то точностью в пространственно-временной точке $y$ вне светового конуса $x$, т.е. для которой $(x-y)^2<0$. Это выражается равенством нулю коммутатора двух наблюдаемых:
$[\mathcal{O}_1 (x), \mathcal{O}_2 (y)]= 0$, если $(x-y)^2<0$.
Мы здесь рассматриваем локальные наблюдаемые, поскольку в конечном счете нас интересуют локальные взаимодействия частиц. В КТП оказывается, что локальные наблюдаемые---это функции поля $\varphi(x)$ и его производных $\partial_{\mu} \varphi(x)$. Чтобы объяснить как это работает, введем вспомогательную функцию (не помню как она обозначается в Пескине и Шредере), которую я обозначу так:
$\Delta_+ (x-y; m^2) = [\varphi^- (x), \varphi^+ (y)]$, где
$\varphi(x) = \int \widetilde{\text{d} k} \, a(k) e^{-i k \cdot x} + \int \widetilde{\text{d} k} \, a^{\dagger}(k) e^{+ i k \cdot x} \equiv \varphi^-(x) + \varphi^+(x)$ и $\widetilde{dk} = \dfrac{d^3 k}{{(2 \pi)}^{3/2} \sqrt{2 E_{\mathbf{k}}}}$ --- релятивистски инвариантная мера.
При этом сами $\varphi^-(x)$ и $\varphi^+(x)$ --- не локальные операторы (как функции $\varphi(x)$)

(Оффтоп)

Покажите что $\varphi^-(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{2} \varphi(x) + const \cdot i \int \text{d}^3 x' f(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \varphi(\mathbf{x}',t)$ или что-то в этом духе, константы не помню.

Введеная функция --- Лоренц-инвариантна и для пространственно-подобного $x-y$ ведет себя как (если выбрать систему отсчета в которой $x^0 = y^0$ и поместить точку $y$ в начало координат):
$\Delta_+ (x; m^2) = \int \dfrac{d^3 k}{{(2 \pi)}^{3} 2 E_{\mathbf{k}}} e^{I \mathbf{k} \mathbf{x}} \sim e^{- m r} $,
т.е. ненулевая вне светового конуса, но быстро убывает с расстоянием в несколько комптоновских длин волн.
Поскольку коммутатор выше --- число, его можно переписать как
$\Delta_+ (x-y; m^2) = \langle 0 | [\varphi^- (x), \varphi^+ (y)] | 0 \rangle = \langle 0 | \varphi^- (x) \varphi^+ (y) |0 \rangle$
и пытаться интерпретировать как амплитуду вероятности рождения частицы в точке $y$ и последующего уничтожения в точке $x$, что кажется парадоксальным поскольку последние разделены пространственно пободным интервалом. НО! Как было замечено выше, ни $\varphi^-(x)$, ни $\varphi^+(x)$ наблюдаемыми не являются. Кроме того, релятивистская причинность требует невозможности передачи информации быстрее скорости света. Поэтому нужно возратиться к вопросу а что собственно является наблюдаемой в этом случае, ответ на который мы уже знаем --- само поле $\varphi(x)$ как самосопряженная сумма $\varphi^- (x)$ и $\varphi^+ (x)$. Вот для нее получается, если $(x-y)^2<0$:
$ i \Delta (x-y; m^2) &= [\varphi^- (x) + \varphi^+ (x), \varphi^- (y) + \varphi^+ (y)] =\\ &=\Delta_+ (x-y; m^2) - \Delta_+ (y-x; m^2)= 0$.
Последнее равенство верно из-за лоренц-инвариантности $\Delta_+(x-y, m^2)$ и того, что для пространственно-подобного 4-вектора существет преобразвание Лоренца переводящее его в ему же равный отрицальтельный.
Так что никакой сверхсветовой передачи информации нет и сводобная теория причинна. Кроме того, можно переписать
$0 = \langle 0| [\varphi(x), \varphi (y)] |0 \rangle = \langle 0| \varphi^- (x) \varphi^+ (y) |0 \rangle - \langle 0| \varphi^- (y) \varphi^+ (x) |0 \rangle$,
и интерпретировать выше полученный нулевой результат как интерференцию двух амплитуд: распространения из $y$ в $x$ и распространения из $x$ в $y$, причем в теории с причинностью обе амплитуды должны присутствовать. Это, конечно, хинт на то, что помимо частиц должны существовать и античастицы.

Но это еще не все. Сам факт измерения поля (как это поле измерять и что вообще можно измерить я возможно напишу позже) в пространственно-временной точке $x$ влияет на положение тестового тела, помещенного в это поле. В игру вступает старый-добрый принцип неопределенности и получается, что чем более точно мы хотим измерить поле (в случае скалярного поля мы на самом деле меряем его градиент), тем больше неопределенность в положении тестового тела. Поэтому существует несовместимость в измерении поля и детектирвоании частиц: идеально точное измерение поля ведет к рождению неопределенного количества частиц и требует бесконечной энергии.

[Labuda]

Во-первых, спасибо за объяснение.

physicsworks в сообщении #1421730 писал(а):

и пытаться интерпретировать как амплитуду вероятности рождения частицы в точке $y$ и последующего уничтожения в точке $x$, что кажется парадоксальным поскольку последние разделены пространственно пободным интервалом

Дело в том, что именно так и интерпретируют эту величину в литературе по КТП. Например, в книге Пескина-Шрёдера пишут:

Цитата:

В рамках расматриваемого формализма и в представлении Гейзенберна амплитуда распространения частицы от точки $y$ до точки $x$ равна $\left \langle 0 | \phi(x) \phi(y) | 0 \right \rangle$.

Но раз эти функции не являются наблюдаемыми, тогда зачем вообще придавать физический смысл этой величине? Зачем называть это амплитудой распространения если это неизбежно приводит к трудностям в случае $(x-y)^2 < 0$?
Кстати, замечу, что там доказывают следующее: $D(x-y)=\left \langle 0 | \phi(x) \phi(y) | 0 \right \rangle \sim e^{-mr}$, где $\phi$ - сумма операторов уничтожения и рождения, а не просто $\left \langle 0 | \phi^{-}(x) \phi^{+}(y) | 0 \right \rangle \sim e^{-mr}$ как у вас.

[physicsworks]

То, что $D(x-y) =\langle 0| \varphi(x) \varphi(y) |0 \rangle$ экспоненциально убывает вне светового конуса но ненулевая --- это нормально, это не влияет на причинность. Такое поведение есть просто факт того, что значения скалярного поля в этих точках скоррелированы. Поэтому эту функцию и называют 2-точечной (вакуумной) корреляционной функцией. Ей уделяет особое внимание поскольку пропагатор Фейнмана есть их линейная комбинация. Сам факт того, что она ненулевая для $(x-y)^2<0$ не должен вас пугать хотя бы потому, что даже если $x$, $y$ и разнесены пространсвенно подобным интервалом, их световые конусы все равно пересекаются в прошлом (далеком или близком), поэтому немудрено что и значения скалярного поля в этих точках скоррелированы. При этом эта корреляция, конечно, не вызвана непосредственными измерениями поля в $x$ и $y$ (это бы нарушало причинность!). Так что забудьте на минуту о частицах и где они там обнаруживаются и мыслите измерениями (квантового) поля---это центральный объект КТП (по крайней мере, в классической КТП). Он дает нам понятие того, как осуществлять локальные измерения и наблюдения. Последние как я уже говорил выше строятся как функции от поля и его производных и коммутируют в точках, которые разделены пространственно подобным интервалом, если тому же требованию удовлетворяет само поле. Поскольку мы хотим описывать наблюдения и предсказывать результаты этих наблюдений, этого достаточно, вопрос о том, где там эти частицы находятся не суть важен и ответа на него мы можем и не знать.

Про то, как именно проводятся измерения поля и как это связано с неопределенностью может позже напишу, если это кому-то будет инетересно.

[Утундрий]

physicsworks в сообщении #1421809 писал(а):

как именно проводятся измерения поля и как это связано с неопределенностью может позже напишу, если это кому-то будет интересно

Интересно, напишите.

[Labuda]

physicsworks
Благодарю за ответ. Другими словами, экспоненциально убывающая амплитуда не описывает вероятность измерить частицу вне светового конуса а лишь указывает на корреляцию между двумя точками в пространстве-времени. В таком случае действительно хотелось бы понять как именно проводятся измерения поля в рамках КТП.

[physicsworks]

Давайте посмотрим на то же скалярное поле, а чтобы было попроще, рассмотрим безмассовый его предел: $m \to 0$. Пусть оно взаимодействует с классическим источником $J$ посредством $S_{\text{int}} = \int d^4 x J(x) \phi(x)$. Измерить значение поля в какой-нибудь пространсвенно-временной точке мы не можем, поскольку само его значение в этой точке --- вопрос соглашения, т.к. есть сдвиговая симметрия. Поэтому измерять мы можем только градиент поля. В нашей постановке задачи $\varphi(x)$ ведет себя как ''потенциал'' для плотности зарядов $J$. Пусть мы имеем тестовое тело с зардом $q = \int_V d^3 x J(\mathbf{x})$ и объемом $V$. Поместим его в поле и измерим изменение импульса тестового тела в течение времени $\delta t$. Тогда: $\delta \mathbf{p}/\delta t = q \boldmath{\nabla} \varphi$. Поскольку неопределенность в измерении импульса связана с неопределенностью в измерении координаты известным образом, можем переписать: $\Delta ( \boldmath{\nabla}_i \varphi) \gtrsim \dfrac{\hbar}{q \delta t \Delta x_i}$ Т.е. чем более точно мы меряем поле (его градиент), тем больше неопределенность в положении тестового тела. Более того, поскольку тестовое тело заряжено, оно будет непременно излучать, что будет влиять на измерение поля в других точках в будущем на световом конусе.

Дальше можно поиграться с функциями Грина и показать что $[\nabla_i \varphi (x), \nabla_j \varphi(y)] = i \partial_i \partial_j \Delta(x-y, 0)$, т.е. в полном соответствии с коммутационными соглашениями накладываемыми на поле. Причем, обратите внимание, что этот результат не зависит от параметров тестового тела, т.е. это свойство измерения скалярных полей как таковых.

[Утундрий]

physicsworks в сообщении #1422186 писал(а):

Пусть мы имеем тестовое тело с зардом $q = \int_V d^3 x J(\mathbf{x})$ и объемом $V$. Поместим его в поле и измерим изменение импульса тестового тела в течение времени $\delta t$. Тогда: $\delta \mathbf{p}/\delta t = q \boldmath{\nabla} \varphi$.

Можно об этом несколько подробней?

physicsworks в сообщении #1422186 писал(а):

Дальше

Вероятно, здесь имелось в виду не "дальше", а "вместо".

[physicsworks]

Источник классический, поэтому закон движения простой.
Имелось в виду дальше, т.к. дальше можно записать классическое волновое уравнение для $\varphi$ с источником $J$, найти для него запаздывающию функцию Грина $G_{r}(x_2-1x_1) \sim \frac{1}{|\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1|} \delta (t_2-t_1+|\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1|)$, посчитать флуктуации поля вследствие возникающих флуктуаций положения тестового тела, используя выведенное выше соотношение неопределенностей, и получить вышеупомянутый результат для коммутатора градиентов поля в двух точках.

-- 25.10.2019, 02:46 --

Реакция поля $\phi$ на движение классического источника тоже трактуется классически. Это будет оправдано, если количество квантов поля велико. В принципе, если попыхтеть, то можно рассмотреть полуклассическую ситуацию с классическим источником и квантовым полем.