Много здесь наговорили, так что не хочется разбирвать на цитаты. Поэтому попробую объяснить последовательно, поскольку похожие вопросы возникают довольно часто при изучении КТП. Везде где не оговорено я буду подразумевать свободное поле (т.е. не взаимодействующее, для которого практически все остается верным, но нужны более сложные выкладки).
В обычной нерялитивистской квантовой механике все самосопряженные операторы наблюдаемые. В КТП из-за причинности появляется ограничение на наблюдаемые

и

: если я померял

с какой-то точностью в пространственно-временной точке

, то это измерение не может повлиять на измерение

с какой-то точностью в пространственно-временной точке

вне светового конуса

, т.е. для которой

. Это выражается равенством нулю коммутатора двух наблюдаемых:
![$[\mathcal{O}_1 (x), \mathcal{O}_2 (y)]= 0$ $[\mathcal{O}_1 (x), \mathcal{O}_2 (y)]= 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/3/243bc44ad14b371d781f1e7ffbe99b3c82.png)
, если

.
Мы здесь рассматриваем
локальные наблюдаемые, поскольку в конечном счете нас интересуют
локальные взаимодействия частиц. В КТП оказывается, что локальные наблюдаемые---это функции поля

и его производных

. Чтобы объяснить как это работает, введем вспомогательную функцию (не помню как она обозначается в Пескине и Шредере), которую я обозначу так:
![$\Delta_+ (x-y; m^2) = [\varphi^- (x), \varphi^+ (y)]$ $\Delta_+ (x-y; m^2) = [\varphi^- (x), \varphi^+ (y)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/6/166badaf9c460fea5391b524b483973982.png)
, где

и

--- релятивистски инвариантная мера.
При этом сами

и

---
не локальные операторы (как функции

)
(Оффтоп)
Покажите что

или что-то в этом духе, константы не помню.
Введеная функция --- Лоренц-инвариантна и для пространственно-подобного

ведет себя как (если выбрать систему отсчета в которой

и поместить точку

в начало координат):

,
т.е. ненулевая вне светового конуса, но быстро убывает с расстоянием в несколько комптоновских длин волн.
Поскольку коммутатор выше --- число, его можно переписать как
![$\Delta_+ (x-y; m^2) = \langle 0 | [\varphi^- (x), \varphi^+ (y)] | 0 \rangle = \langle 0 | \varphi^- (x) \varphi^+ (y) |0 \rangle$ $\Delta_+ (x-y; m^2) = \langle 0 | [\varphi^- (x), \varphi^+ (y)] | 0 \rangle = \langle 0 | \varphi^- (x) \varphi^+ (y) |0 \rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/2/f1225d0a87f42d34eaf6637877218baf82.png)
и пытаться интерпретировать как амплитуду вероятности рождения частицы в точке

и последующего уничтожения в точке

, что кажется парадоксальным поскольку последние разделены пространственно пободным интервалом. НО! Как было замечено выше, ни

, ни

наблюдаемыми не являются. Кроме того, релятивистская причинность требует
невозможности передачи информации быстрее скорости света. Поэтому нужно возратиться к вопросу а что собственно является наблюдаемой в этом случае, ответ на который мы уже знаем --- само поле

как самосопряженная сумма

и

. Вот для нее получается, если

:
![$ i \Delta (x-y; m^2) &= [\varphi^- (x) + \varphi^+ (x), \varphi^- (y) + \varphi^+ (y)] =\\ &=\Delta_+ (x-y; m^2) - \Delta_+ (y-x; m^2)= 0$ $ i \Delta (x-y; m^2) &= [\varphi^- (x) + \varphi^+ (x), \varphi^- (y) + \varphi^+ (y)] =\\ &=\Delta_+ (x-y; m^2) - \Delta_+ (y-x; m^2)= 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/9/04979f6cbe3fbad50ac6527016b8d81282.png)
.
Последнее равенство верно из-за лоренц-инвариантности

и того, что для пространственно-подобного 4-вектора существет преобразвание Лоренца переводящее его в ему же равный отрицальтельный.
Так что никакой сверхсветовой передачи информации нет и
сводобная теория причинна. Кроме того, можно переписать
![$0 = \langle 0| [\varphi(x), \varphi (y)] |0 \rangle = \langle 0| \varphi^- (x) \varphi^+ (y) |0 \rangle - \langle 0| \varphi^- (y) \varphi^+ (x) |0 \rangle$ $0 = \langle 0| [\varphi(x), \varphi (y)] |0 \rangle = \langle 0| \varphi^- (x) \varphi^+ (y) |0 \rangle - \langle 0| \varphi^- (y) \varphi^+ (x) |0 \rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/5/46522b6d16ab426ae284c0928285abaa82.png)
,
и интерпретировать выше полученный нулевой результат как интерференцию двух амплитуд: распространения из

в

и распространения из

в

, причем в теории с причинностью обе амплитуды должны присутствовать. Это, конечно, хинт на то, что помимо частиц должны существовать и античастицы.
Но это еще не все. Сам факт измерения поля (как это поле измерять и что вообще можно измерить я возможно напишу позже) в пространственно-временной точке

влияет на положение тестового тела, помещенного в это поле. В игру вступает старый-добрый принцип неопределенности и получается, что чем более точно мы хотим измерить поле (в случае скалярного поля мы на самом деле меряем его градиент), тем больше неопределенность в положении тестового тела. Поэтому существует несовместимость в измерении поля и детектирвоании частиц: идеально точное измерение поля ведет к рождению неопределенного количества частиц и требует бесконечной энергии.