Найти потенциал

[Timur Iskandarov]

Emergency в сообщении #1421771 писал(а):

Потому что я искусственно задал режим на постоянном токе, который через конденсатор не течет.

Стало понятнее, что токов $I_{C_2}$ и $I_{C_1}$ не будет, но всё равно не понимаю почему в таком случае $I_{SRC} = I_{R_2}$, если чисто интуитивно, то, кажется, что это не так.

Emergency в сообщении #1421771 писал(а):

Из тех, что через резистор $R_2$ ток течет из земли в узел b.

Он по другому протекать не может при постоянном токе ввиду того, что потенциал $U_b$ не может быть больше потенциала $U_{in}$ ?

Emergency в сообщении #1421771 писал(а):

Это не обязательно происходит без колебаний и не обязательно они затухающие, так как есть активный элемент $SRC$.

Не очень представляю по какому закону растет потенциал $U_a$, а потому не очень понимаю за счет чего будут происходить колебания. В момент времени $t_0 = 0$ имеем $U_{in} - U_a = 1$, затем $U_a$ растет по какому-то закону, следовательно, разность $0 \leqslant U_{in} - U_a < 1$. Причем активный элемент не может вроде бы повлиять, так как $U_a$ сам на него влияет, например, в момент $t_0=0$ управляющее напряжение $U_a$ отключает источник $I_{SRC}$.

-- 20.10.2019, 23:51 --

realeugene в сообщении #1421758 писал(а):

Timur Iskandarov в сообщении #1421754 писал(а):

Честно говоря вышеописанную систему уравнений не удалось мне решить.

Между прочим, это обычная система линейных дифференциальных уравнений.

Ну преобразовал, а вот преобразованную систему не назвал бы обычной, так как не ясно что и куда тут подставлять.
$\begin{equation*} \begin{cases} I_L = g \cdot (U_{in} - L \frac{dI_L}{dt}) + \frac{U_b}{R_2} + \frac{U_c}{R_1}, \\ I_{C_2} = C_2 \frac{d(U_a - U_b)}{dt}, \\ I_{C_1} = C_1 \frac{d(U_b - U_c)}{dt} \end{cases} \end{equation*}$

realeugene в сообщении #1421780 писал(а):

А найдите-ка установившийся режим работы схемы в предположении отсутствия возбуждения.

С радостью, только подскажите, что конкретно требуется занулить или что требуется сделать дабы отбросить возбуждение.

[Timur Iskandarov]

$\begin{equation*} \begin{cases} U_{in} - U_a = L \frac{dI_L}{dt}, \\ I_{C_2} = C_2 \frac{d(U_a - U_b)}{dt}, \\ I_{C_1} = C_1 \frac{d(U_b - U_c)}{dt}, \\ I_{SRC} = gU_a, \\ I_{R_2} = \frac{U_b}{R_2}, \\ I_{R_1} = \frac{U_c}{R_1}, \\ I_L + I_{C_2} = 0 &\text{для \ узла \ a}, \\ I_{C_2} + I_{SRC} + I_{R_2} + I_{C_1} = 0 &\text{для \ узла \ b}, \\ I_{C_1} + I_{R_1} = 0 &\text{для \ узла \ c} \end{cases} \end{equation*}$
Кажется, надо плясать от последнего уравнения
$I_{C_1} = - I_{R_1}$, $C_1 \frac{d(U_b - U_c)}{dt} = - \frac{U_c}{R_1}$, $\frac{dU_b}{U_c} - \frac{dU_c}{U_c} = - \frac{dt}{R_{1} \cdot C_{1}}$
и предпоследнего
$I_{C_2} + I_{C_1}= - gU_a - \frac{U_b}{R_2}$, $(C_2 + C_1) \frac{d(U_a - U_b) + d(U_b - U_c)}{dt} = - gU_a - \frac{U_b}{R_2}$, $(C_2 + C_1) \frac{dU_a - dU_c}{dt} = - gU_a - \frac{U_b}{R_2}$, $\frac{dU_a}{dt} - \frac{dU_c}{dt} = - \frac{gU_a}{C_1 + C_2} - \frac{U_b}{R_{2}(C_1 + C_2)}$.
Тогда
$\begin{equation*} \begin{cases} U_{in} - U_a = L \frac{dI_L}{dt} &\text{(1)}, \\ \frac{dU_a}{dt} - \frac{dU_c}{dt} = - I_L &\text{(2)}, \\ \frac{dU_b}{U_c} - \frac{dU_c}{U_c} = - \frac{dt}{R_{1} \cdot C_{1}} &\text{(3)}, \\ \frac{dU_a}{dt} - \frac{dU_c}{dt} = - \frac{gU_a}{C_1 + C_2} - \frac{U_b}{R_{2}(C_1 + C_2)} &\text{(4)} \end{cases} \end{equation*}$
Второе + четвертое
$\begin{equation*} \begin{cases} U_a = U_{in} - L \frac{dI_L}{dt}, \\ \frac{dU_b}{U_c} - \frac{dU_c}{U_c} = - \frac{dt}{R_{1} \cdot C_{1}}, \\ I_L = - \frac{gU_a}{C_1 + C_2} - \frac{U_b}{R_{2}(C_1 + C_2)} \end{cases} \end{equation*}$

[realeugene]

Timur Iskandarov в сообщении #1421787 писал(а):

только подскажите, что конкретно требуется занулить или что требуется сделать дабы отбросить возбуждение.

В линейной системе - ничего отбрасывать не нужно. Достаточно предположить, что возбуждения нет. Что из этого следует?

-- 21.10.2019, 01:05 --

Timur Iskandarov в сообщении #1421798 писал(а):

Тогда

Возможно, вручную решать дифур вам и не обязательно, если это задача на программирование. Но это решение может быть поучительным, чтобы вспомнить дифуры. Для начала, как стандартным образом записать систему таких уравнений?

[Timur Iskandarov]

realeugene в сообщении #1421801 писал(а):

Что из этого следует?

Ток текущий по схеме постоянный?

realeugene в сообщении #1421801 писал(а):

Для начала, как стандартным образом записать систему таких уравнений?

В правой части все нули.

[realeugene]

Timur Iskandarov в сообщении #1421803 писал(а):

Ток текущий по схеме постоянный?

Ещё?

-- 21.10.2019, 01:23 --

Timur Iskandarov в сообщении #1421803 писал(а):

В правой части все нули

Вспоминайте программу дифуров.

[Timur Iskandarov]

realeugene в сообщении #1421804 писал(а):

Ещё?

Ток источника питания равен нулю?

-- 21.10.2019, 02:34 --

realeugene в сообщении #1421804 писал(а):

Вспоминайте программу дифуров.

Дифференциалы в одной части, всё остальное в другой.

-- 21.10.2019, 02:38 --

$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{dI_L}{dt} = \frac{U_{in}}{L} - \frac{U_a(t)}{L}, \\ \frac{d(U_a - U_b)}{dt} = \frac{I_{C_2}(t)}{C_2}, \\ \frac{d(U_b - U_c)}{dt} = \frac{I_{C_1}(t)}{C_1}, \\ I_{SRC} = gU_a(t), \\ I_{R_2} = \frac{U_b(t)}{R_2}, \\ I_{R_1} = \frac{U_c(t)}{R_1}, \\ I_L + I_{C_2} = 0 &\text{для \ узла \ a}, \\ I_{C_2} + I_{SRC} + I_{R_2} + I_{C_1} = 0 &\text{для \ узла \ b}, \\ I_{C_1} + I_{R_1} = 0 &\text{для \ узла \ c} \end{cases} \end{equation*}$
Начальные условия $U_a(0) = 0, U_b(0)=0, U_c(0) = 0$.
Прогуглил методы решения, пишут следующее
Решим систему методом исключения. Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.
Так основная проблема и заключается в том, что неясно как к дифуру свести это всё дело...

[Timur Iskandarov]

Кажется имеется некоторый прогресс.
Исходная система
$\begin{equation*} \begin{cases} U_L = L\frac{dI_L}{dt}, \\ I_L + C_{2}\frac{d(U_a-U_b)}{dt} = 0 &\text{для \ узла \ a}, \\ C_{2}\frac{d(U_a-U_b)}{dt} + gU_a + \frac{U_b}{R_2} + C_{1}\frac{d(U_b-U_c)}{dt} = 0 &\text{для \ узла \ b}, \\ C_{1}\frac{d(U_b-U_c)}{dt} + \frac{U_c}{R_1} = 0 &\text{для \ узла \ c} \end{cases} \end{equation*}$
Затем 4-ое подставляем в 3-ье
$\begin{equation*} \begin{cases} U_L = L\frac{dI_L}{dt}, \\ I_L + C_{2}\frac{d(U_a-U_b)}{dt} = 0 &\text{для \ узла \ a}, \\ C_{2}\frac{d(U_a-U_b)}{dt} + gU_a + \frac{U_b}{R_2} - \frac{U_c}{R_1} = 0 &\text{для \ узла \ b} \end{cases} \end{equation*}$
А 3-ье во 2-ое
$\begin{equation*} \begin{cases} U_L = L\frac{dI_L}{dt}, \\ I_L + \frac{U_c}{R_1} - \frac{U_b}{R_2} - gU_a = 0 &\text{для \ узла \ a} \end{cases} \end{equation*}$
Или что то же самое
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{dI_L}{dt} = \frac{U_L}{L}, \\ I_L = gU_a + \frac{U_b}{R_2} - \frac{U_c}{R_1} &\text{для \ узла \ a} \end{cases} \end{equation*}$
И дифференцируем 2-ое
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{dI_L}{dt} = \frac{U_L}{L}, \\ \frac{dI_L}{dt} = g \cdot \frac{dU_a}{dt} + \frac{1}{R_2} \cdot \frac{dU_b}{dt} - \frac{1}{R_1} \cdot\frac{dU_c}{dt} &\text{для \ узла \ a} \end{cases} \end{equation*}$
Получаем уравнение
$\frac{U_{in}}{L} - \frac{U_a(t)}{L} = g \cdot \frac{dU_a}{dt} + \frac{1}{R_2} \cdot \frac{dU_b}{dt} - \frac{1}{R_1} \cdot\frac{dU_c}{dt}$
Которое непонятно как решать.

[Emergency]

Timur Iskandarov в сообщении #1421787 писал(а):

Он по другому протекать не может при постоянном токе ввиду того, что потенциал $U_b$ не может быть больше потенциала $U_{in}$ ?

Кажется с этим вопросов вы уже сами разобрались:

Timur Iskandarov в сообщении #1421805 писал(а):

$I_{C_2} + I_{SRC} + I_{R_2} + I_{C_1} = 0 &\text{ для \ узла \ b}$

[Timur Iskandarov]

Emergency, спасибо, теперь дошло.
При постоянном токе система
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{dI_L}{dt} = \frac{U_{in}}{L} - \frac{U_a(t)}{L}, \\ \frac{d(U_a - U_b)}{dt} = \frac{I_{C_2}(t)}{C_2}, \\ \frac{d(U_b - U_c)}{dt} = \frac{I_{C_1}(t)}{C_1}, \\ I_{SRC} = gU_a(t), \\ I_{R_2} = \frac{U_b(t)}{R_2}, \\ I_{R_1} = \frac{U_c(t)}{R_1}, \\ I_L + I_{C_2} = 0 &\text{для \ узла \ a}, \\ I_{C_2} + I_{SRC} + I_{R_2} + I_{C_1} = 0 &\text{для \ узла \ b}, \\ I_{C_1} + I_{R_1} = 0 &\text{для \ узла \ c} \end{cases} \end{equation*}$
преобразуется к системе
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{U_{in}}{L} - \frac{U_a(t)}{L} = 0, \\ \frac{d(U_a - U_b)}{dt} = 0, \\ \frac{d(U_b - U_c)}{dt} = 0, \\ I_{SRC} = gU_a(t), \\ I_{R_2} = \frac{U_b(t)}{R_2}, \\ I_{R_1} = \frac{U_c(t)}{R_1}, \\ I_L = 0 &\text{для \ узла \ a}, \\ I_{SRC} + I_{R_2} = 0 &\text{для \ узла \ b}, \\ I_{R_1} = 0 &\text{для \ узла \ c} \end{cases} \end{equation*}$,
тогда
$\begin{equation*} \begin{cases} U_a(t) = U_{in}, \\ U_b(t) = -gR_{2}U_{in}, \\ U_c(t) = 0 \end{cases} \end{equation*}$
Да, согласен.

[Emergency]

Ну раз расклинило, то дальше само пойдет.