Траектория движения в гравитационном поле

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте.
Пусть задана ситуация: на высоте $h$ над поверхностью планеты в свободном падении находится аппарат с ракетным двигателем, все характеристики которого известны. В начальный момент времени он расположен под углом к горизонту $\frac{\pi}{2}>\alpha >0$. Сопло двигателя направлено против движения. Известна начальная скорость аппарата $v_0$. Двигатель начинает работать, а т.к. к вертикальной компоненте силы тяги прибавляется вектор силы тяжести, то угол начинает меняться. Нос аппарата всегда направлен против вектора скорости. Массы аппарата с топливом и без топлива соответственно равны $m_1$ и $m_2$. Влияние атмосферы пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения везде постоянно и равно $g$. Поверхность планеты в данной окрестности принять за плоскость.
Вопрос: как и можно ли вообще найти уравнение траектории при таком движении? Также нужно найти уравнение для скорости в каждой точке траектории.

Идей к решению у меня почти нет, но вот то, что есть.
Первым делом я решил найти ускорение в произвольный момент времени на ось, параллельную вектору движения. Записал второй закон Ньютона:

$ma=F-g\cdot\sin\alpha(t)\cdot m$

$\sin\alpha(t)$ - функция синуса угла к горизонту от времени.
$m=m_1-\mu\cdot t$ - масса аппарата в данный момент времени, где $\mu$ - расход топлива.

Таким образом:

$a=\frac{F-g\cdot\sin\alpha(t)\cdot(m_1-\mu\cdot t)}{m_1-\mu\cdot t}$

Зная это, можем найти скорость аппарата в момент времени $t$:

$v=v_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F-g\cdot\sin\alpha(x)\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx$

Точно также найдем проекцию скорости на нормаль к поверхности ($v_y$) в момент времени $t$:

$v_y=v_y_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F\cdot\sin\alpha(x)-g\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx$

Понятно, что синус угла в произвольный момент времени равен $v/v_y$. Составляем уравнение:

$\sin\alpha(t)=\frac{v_y_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F\cdot\sin\alpha(x)-g\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx}{v_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F-g\cdot\sin\alpha(x)\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx}$

Уравнение было составлено с целью нахождения $\sin\alpha(t)$, чтобы в дальнейшем его использовать. Без этой функции я не представляю дальнейшего решения. Можно ли решить данное уравнение? Или можно обойтись без этого?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- существующая формулировка задачи противоречит сама себе, перед попытками решения было бы неплохо избавиться от этой проблемы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[OlegCh]

Euler-Maskerony в сообщении #1420607 писал(а):

Нос аппарата всегда направлен против вектора скорости.

Почему это?

[Утундрий]

OlegCh в сообщении #1421418 писал(а):

Почему это?

Так захотел капитан.

[OlegCh]

Утундрий в сообщении #1421426 писал(а):

Так захотел капитан.

Рогозин?

[Утундрий]

Буду проще... В условии так задано.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1420607 писал(а):

Первым делом я решил найти ускорение в произвольный момент времени на ось, параллельную вектору движения. Записал второй закон Ньютона:

$ma=F-g\cdot\sin\alpha(t)\cdot m$

А другая компонента ускорения силы тяжести на аппарат при этом не влияет? Поздравляю, вы изобрели антигравитатор, достаточно повернуться боком к земле и ее гравитация тут же отключается.

А если серьезно, то напишите все аккуратно и в векторном виде. Уже потом (если будет нужно) займетесь поиском проекций.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1421441 писал(а):

А другая компонента ускорения силы тяжести на аппарат при этом не влияет?

На самом деле я просто сжал выкладки по $y$ компоненте фразой:

Euler-Maskerony в сообщении #1420607 писал(а):

Точно также найдем проекцию скорости на нормаль к поверхности ($v_y$) в момент времени $t$:

$v_y=v_y_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F\cdot\sin\alpha(x)-g\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx$

Там такие же рассуждения.

Но вот есть вопрос. Могу ли я в конечном выражении для синуса угла

Euler-Maskerony в сообщении #1420607 писал(а):

Понятно, что синус угла в произвольный момент времени равен $v/v_y$. Составляем уравнение:

$\sin\alpha(t)=\frac{v_y_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F\cdot\sin\alpha(x)-g\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx}{v_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F-g\cdot\sin\alpha(x)\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx}$

умножить всё на знаменатель, продифференцировать, таким образом избавится от одного интеграла. А потом слева оставить только оставшийся интеграл и всё второй раз продифференцировать? Там ведь при дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу, получается подинтегральная функция от верхнего предела.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1421459 писал(а):

На самом деле я просто сжал выкладки по $y$ компоненте фразой:

А сжимать не надо. Еще раз: напишите все аккуратно и в векторном виде. Желательно при этом также не вводить противоестественные обозначения (или, по крайней мере, оговаривать их), а также не делать описки.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1421465 писал(а):

Еще раз: напишите все аккуратно и в векторном виде.

Второй закон Ньютона:

$m\cdot\vec{a}=\vec{F}+m\cdot\vec{g}$

В проекции на ось, параллельную вектору скорости и направлена против него (Ох):

$m\cdot a_x=F-g\cdot\sin\alpha(t)\cdot m$

$\sin\alpha(t)$ - функция синуса угла к горизонту от времени.
$m=m_1-\mu\cdot t$ - масса аппарата в данный момент времени, где $\mu$ - расход топлива.

Таким образом:

$a_x=\frac{F-g\cdot\sin\alpha(t)\cdot(m_1-\mu\cdot t)}{m_1-\mu\cdot t}$

Зная это, можем найти скорость аппарата в момент времени $t$:

$v=v_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F-g\cdot\sin\alpha(x)\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx$

Далее найдем проекцию второго закона Ньютона на ось, параллельную нормали к поверхности и направленную вверх (Oy):

$m\cdot a_y=F\cdot\sin\alpha(t)-m\cdot g$

Также находим ускорение:

$a_y=\frac{F\cdot\sin\alpha(t)-g\cdot(m_1-\mu\cdot t)}{m_1-\mu\cdot t}$

Найдем проекцию скорости на нормаль к поверхности ($v_y$) в момент времени $t$:

$v_y=v_y_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F\cdot\sin\alpha(x)-g\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx$

Понятно, что синус угла в произвольный момент времени равен $v/v_y$. Составляем уравнение:

$\sin\alpha(t)=\frac{v_y_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F\cdot\sin\alpha(x)-g\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx}{v_0-\int\limits_{0}^{t}\frac{F-g\cdot\sin\alpha(x)\cdot(m_1-\mu\cdot x)}{m_1-\mu\cdot x}dx}$

Теперь, кажется, всё расписал.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1421476 писал(а):

В проекции на ось, параллельную вектору скорости и направлена против него (Ох):

Исключительно неудобный вариант. Вы осознаете, что у такой системы координат оси будут поворачиваться со временем, т.е. она будет неинерциальной?

Euler-Maskerony в сообщении #1421476 писал(а):

Зная это, можем найти скорость аппарата в момент времени $t$:

Не можем. У вас осталась неучтенная компонента ускорения (связанная с силой тяжести), которая также влияет на скорость.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1421479 писал(а):

Исключительно неудобный вариант. Вы осознаете, что у такой системы координат оси будут поворачиваться со временем

Осознаю, поэтому и ввел функцию угла. Относительно неё и решается полученное интегральное уравнение.
(Хотелось бы, чтобы решалось )

Pphantom в сообщении #1421479 писал(а):

Не можем. У вас осталась неучтенная компонента ускорения (связанная с силой тяжести), которая также влияет на скорость.

Она не определена, т.к. не определена функция угла. Её и нужно найти.

-- 18.10.2019, 23:00 --

Pphantom в сообщении #1421479 писал(а):

Не можем. У вас осталась неучтенная компонента ускорения (связанная с силой тяжести), которая также влияет на скорость.

Вероятно, я плохо сформулировал. Можем найти, если считать $\sin\alpha(t)$ известной функцией.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1421483 писал(а):

Осознаю, поэтому и ввел функцию угла.

Не поможет.

Euler-Maskerony в сообщении #1421483 писал(а):

Вероятно, я плохо сформулировал. Можем найти, если считать $\sin\alpha(t)$ известной функцией.

Не можете. Вы интегрируете выражение для ускорения, забывая, что это только одна его компонента.

В общем, искать проекции (если так хочется) стоит на постоянные оси, вертикальную и горизонтальную. Результат, правда, в любом случае окажется не слишком приятным.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1421488 писал(а):

Не можете. Вы интегрируете выражение для ускорения, забывая, что это только одна его компонента.

Разве важно в течение малого промежутка времени рассматривать другую компоненту ускорения, которая, по факту, влияет только на направление скорости? Направление же задает функция угла. В течение малого временного интервала можно пренебречь изменением направления.

-- 18.10.2019, 23:36 --

Pphantom в сообщении #1421488 писал(а):

В общем, искать проекции (если так хочется)

Скорее это вынужденная мера. Других способов не вижу на данном этапе. У вас нет мыслей по этому?