Ой! А можно Вам такие обозначения предложить:
![$f(\alpha, a, b)$ $f(\alpha, a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/b/72b01648ce76982c80af2f29804e41c782.png)
- О-функция (операционная).
![$f(3, a, b) = a ^ b,$ $f(3, a, b) = a ^ b,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/6/156f8039b03eb43eb663cf05c79f8ecd82.png)
... ( ну или хотя бы
![$af_{m} b$ $af_{m} b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/2/b02e546d57e79f91d4be742f69dd37ee82.png)
)
Видимо вообще
![$f(m+1, a, b) = f(m,f(m,f(m, ... , b) , b) , b)$ $f(m+1, a, b) = f(m,f(m,f(m, ... , b) , b) , b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/4/474a29b1d9af144ff5197013f8c9130082.png)
- всего a раз,
ну или с возможностью неассоциативности
![$f(m+1, a, b) = f(m ,a, f(m ,a, f(m ,a, ...)))$ $f(m+1, a, b) = f(m ,a, f(m ,a, f(m ,a, ...)))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/4/264921cdd4387738cbfa609fe612e7a882.png)
- всего b раз.
(ну вот видите, уже 2 варианта получаются, к тому же пока придется ограничиться
![$a, b \in \mathbb{N}$ $a, b \in \mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/2/672703672fea97d3fcc2b92e700e44e782.png)
)
И теперь Вы хотите обобщить эту функцию для
![$m \in \mathbb{Q}$ $m \in \mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/b/87bc2c813c6be063609093396cc13e9282.png)
?
Надо тогда еще какое-то свойство ввести. Какое?... Ну это функци уравнение получится.
Вашу первую формулу в моих обозначениях я понял так:
![$f(q, a, b) = a+b+(ab-(a+b))(q-1) = ab(q-1)+(a+b)(2-q) 1<q<2$ $f(q, a, b) = a+b+(ab-(a+b))(q-1) = ab(q-1)+(a+b)(2-q) 1<q<2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/d/5fdab11572d5c035055fcff5997723dd82.png)
.
Ну это - "линейная комбинация" операций
![$f(1, . , .)$ $f(1, . , .)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/5/625074adc2ae5176d4f09667f1cfd78982.png)
и
![$f(2, . , .)$ $f(2, . , .)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/2/4a247a5ddeaba27f76b2dacf7a56d77782.png)
. Не знаю точно, но это скорее всего неверно. Должна быть очень кривая формула.
Со второй формулой примерно то же самое.
С третьей мне было очень тяжело.
Надо свойство.
Следующая операция у нас есть композиция предыдущих (число композиций равно 2-й переменной).
Вряд ли. Из моего определения не получишь. Надо какое-то свойство находить и обобщать уже от него.
Не знаю.
А может действительно через логарифм вводить. Типа
![$ln(f(m+1, a, b)) = f(m, ln(a), ln(b))$ $ln(f(m+1, a, b)) = f(m, ln(a), ln(b))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/3/4737f529d81b31881eee771ed8f3a09782.png)
.
Нет, это уже что-то совсем другое.
Или я что-то неправильно понял?