2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Счёт дробных операций.
Сообщение31.08.2008, 14:43 


29/03/08
5
Украина
Обозначим +=[1]; *=[2]; ^=[3];...;[A]-любая натуральная операция-const. Как считать дробные операции?
Применима ли формула A=[1]:$$a[1,\gamma]b=a+b+((a*b)-(a+b))*0.\gamma$$
A=[2]:$$a[2,\gamma]b=a*b*((a^b):(a*b))^{0,\gamma}$$
A>[1]:$$a[A,\gamma]b=(a[A]b)[A]((a[A+1]b)[Ar](a[A]b))[A+1]0,\gamma$$
где [Ar]-обратная справа: [1r]-минус,[2r]-деление,[3r]-логарифм и т,д

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Цитата:
Обозначим +=[1]; *=[2]; ^=[3];...;[A]-любая натуральная операция-const. Как считать дробные операции?

Так, что вы подразумеваете под натуральными операциями более-менее ясно из контекста, тем более тема не первый раз поднимается на форуме.

С дробными операциями - вы спрашиваете, как их можно было бы естественно определить? Для этого надо определить, какие именно требования к этим функциям мы полагаем естественными. До этого всякие конкретные выкладки будут бессмысленными.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 23:07 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
Можно было бы доопределить множество операций таким образом, чтобы функция $f(a,b,n)=a[n]b$ (в обозначениях автора темы) была гладкой на всем множестве $R\times R\times R$. Другой вопрос, зачем это нужно. Кроме того, вопрос к автору: чему равно $3^{3^3}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Гладкой - это с непрерывными производными любого порядка?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 23:29 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
Да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
В порядке придирки: на всем $\mathbb{R}^3$ это не получится - хотя бы потому, что уже возведение в степень определено, вообще говоря, лишь на $\mathbb{R_+}\times\mathbb{R}$. В лучшем случае - на $\mathbb{R_+}^3$.

Интерполяция OM618 дает лишь простую непрерывность, но уже первая производная будет разрывной:
$$ \lim_{\gamma\to1} (a[1+\gamma]b)'_\gamma = ab-a-b,$$
$$ \lim_{\gamma\to0} (a[2+\gamma]b)'_\gamma = ab\ln\left( {a^b\over ab} \right).$$
А вот на бесконечно гладкую интерполяцию я бы с удовольствием посмотрел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 23:59 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
Бодигрим в сообщении #141959 писал(а):
В порядке придирки: на всем $\mathbb{R}^3$ это не получится - хотя бы потому, что уже возведение в степень определено, вообще говоря, лишь на $\mathbb{R_+}\times\mathbb{R}$. В лучшем случае - на $\mathbb{R_+}^3$.

Вы правы, я был неточен. Я имел в виду - на всей области определения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2008, 10:48 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ой! А можно Вам такие обозначения предложить:
$f(\alpha, a, b)$ - О-функция (операционная).
$f(1, a, b) = a + b,$ $f(2, a, b) = a * b,$ $f(3, a, b) = a ^ b,$ ... ( ну или хотя бы $af_{m} b$)
Видимо вообще $f(m+1, a, b) = f(m,f(m,f(m, ... , b) , b) , b)$ - всего a раз,
ну или с возможностью неассоциативности $f(m+1, a, b) = f(m ,a, f(m ,a, f(m ,a, ...)))$ - всего b раз.
(ну вот видите, уже 2 варианта получаются, к тому же пока придется ограничиться $a, b \in \mathbb{N}$)
И теперь Вы хотите обобщить эту функцию для $m \in \mathbb{Q}$?
Надо тогда еще какое-то свойство ввести. Какое?... Ну это функци уравнение получится.
Вашу первую формулу в моих обозначениях я понял так:
$f(q, a, b) = a+b+(ab-(a+b))(q-1) = ab(q-1)+(a+b)(2-q) 1<q<2$.
Ну это - "линейная комбинация" операций $f(1, . , .)$ и $f(2, . , .)$. Не знаю точно, но это скорее всего неверно. Должна быть очень кривая формула.
Со второй формулой примерно то же самое.
С третьей мне было очень тяжело.

Надо свойство.
Следующая операция у нас есть композиция предыдущих (число композиций равно 2-й переменной).
Вряд ли. Из моего определения не получишь. Надо какое-то свойство находить и обобщать уже от него.
Не знаю.

А может действительно через логарифм вводить. Типа $ln(f(m+1, a, b)) = f(m, ln(a), ln(b))$.
Нет, это уже что-то совсем другое.

Или я что-то неправильно понял?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2008, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Sonic86 в сообщении #142016 писал(а):
Видимо вообще $f(m+1, a, b) = f(m,f(m,f(m, ... , b) , b) , b)$ - всего a раз,
ну или с возможностью неассоциативности $f(m+1, a, b) = f(m ,a, f(m ,a, f(m ,a, ...)))$ - всего b раз.
(ну вот видите, уже 2 варианта получаются, к тому же пока придется ограничиться $a, b \in \mathbb{N}$)

Если учесть, что мы хотим получить $f(3,a,b)=a^b$, то остается только второй вариант определения. С ограничением только на $b$: $b\in\mathbb{N}$.

Это ограничение можно преодолеть тем или иным образом. Мне кажется наиболее естественным следующий. Пусть $l(\alpha,b,\varphi)$ такова, что $f(\alpha,l(\alpha,b,\varphi),b)=\varphi$, т. е. $l$ - "левая" (хотя в ваших обозначениях - скорее "центральная") обратная функция. Тогда при $b={m\over n}\in\mathbb{Q}$ положим $f(\alpha,a,b) = l(\alpha,n,f(\alpha,a,m))$. Правда пока что мне не ясно, корректно ли это определение в общем случае: не зависит ли результат от вида выбранной для представления $b$ дроби?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.09.2008, 10:18 


29/03/08
5
Украина
Anton Nonko в сообщении #141953 писал(а):
вопрос к автору: чему равно3^3^3 ?

a[A+1]b=a[A]a[A+1](b-1)= a[A]a[A]....[A]a здесь b раз по a, порядок действий справо на лево. 3[4]3=3[3]3[3]3=3[3]27=3[3]3[4]2=19683[3]3=7625597484987

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 12:05 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
OM618 в сообщении #142241 писал(а):
порядок действий справо на лево

Собственно, это я и хотел услышать. Но почему не слева направо? По моему, польза от обсуждаемого обобщения будет, если оно объяснит, почему сложение и умножение коммутативны, а возведение в степень - уже нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group