Счёт дробных операций.

[OM618]

Обозначим +=[1]; *=[2]; ^=[3];...;[A]-любая натуральная операция-const. Как считать дробные операции?
Применима ли формула A=[1]:

$$a[1,\gamma]b=a+b+((a*b)-(a+b))*0.\gamma$$

A=[2]:

$$a[2,\gamma]b=a*b*((a^b):(a*b))^{0,\gamma}$$

A>[1]:

$$a[A,\gamma]b=(a[A]b)[A]((a[A+1]b)[Ar](a[A]b))[A+1]0,\gamma$$

где [Ar]-обратная справа: [1r]-минус,[2r]-деление,[3r]-логарифм и т,д

[Бодигрим]

Цитата:

Обозначим +=[1]; *=[2]; ^=[3];...;[A]-любая натуральная операция-const. Как считать дробные операции?

Так, что вы подразумеваете под натуральными операциями более-менее ясно из контекста, тем более тема не первый раз поднимается на форуме.

С дробными операциями - вы спрашиваете, как их можно было бы естественно определить? Для этого надо определить, какие именно требования к этим функциям мы полагаем естественными. До этого всякие конкретные выкладки будут бессмысленными.

[Anton Nonko]

Можно было бы доопределить множество операций таким образом, чтобы функция $f(a,b,n)=a[n]b$ (в обозначениях автора темы) была гладкой на всем множестве $R\times R\times R$. Другой вопрос, зачем это нужно. Кроме того, вопрос к автору: чему равно $3^{3^3}$?

[Бодигрим]

Гладкой - это с непрерывными производными любого порядка?

[Anton Nonko]

Да.

[Бодигрим]

В порядке придирки: на всем $\mathbb{R}^3$ это не получится - хотя бы потому, что уже возведение в степень определено, вообще говоря, лишь на $\mathbb{R_+}\times\mathbb{R}$. В лучшем случае - на $\mathbb{R_+}^3$.

Интерполяция OM618 дает лишь простую непрерывность, но уже первая производная будет разрывной:

$$ \lim_{\gamma\to1} (a[1+\gamma]b)'_\gamma = ab-a-b,$$

$$ \lim_{\gamma\to0} (a[2+\gamma]b)'_\gamma = ab\ln\left( {a^b\over ab} \right).$$

А вот на бесконечно гладкую интерполяцию я бы с удовольствием посмотрел.

[Anton Nonko]

Бодигрим в сообщении #141959 писал(а):

В порядке придирки: на всем $\mathbb{R}^3$ это не получится - хотя бы потому, что уже возведение в степень определено, вообще говоря, лишь на $\mathbb{R_+}\times\mathbb{R}$. В лучшем случае - на $\mathbb{R_+}^3$.

Вы правы, я был неточен. Я имел в виду - на всей области определения.

[Sonic86]

Ой! А можно Вам такие обозначения предложить:
$f(\alpha, a, b)$ - О-функция (операционная).
$f(1, a, b) = a + b,$ $f(2, a, b) = a * b,$ $f(3, a, b) = a ^ b,$ ... ( ну или хотя бы $af_{m} b$)
Видимо вообще $f(m+1, a, b) = f(m,f(m,f(m, ... , b) , b) , b)$ - всего a раз,
ну или с возможностью неассоциативности $f(m+1, a, b) = f(m ,a, f(m ,a, f(m ,a, ...)))$ - всего b раз.
(ну вот видите, уже 2 варианта получаются, к тому же пока придется ограничиться $a, b \in \mathbb{N}$)
И теперь Вы хотите обобщить эту функцию для $m \in \mathbb{Q}$?
Надо тогда еще какое-то свойство ввести. Какое?... Ну это функци уравнение получится.
Вашу первую формулу в моих обозначениях я понял так:
$f(q, a, b) = a+b+(ab-(a+b))(q-1) = ab(q-1)+(a+b)(2-q) 1<q<2$.
Ну это - "линейная комбинация" операций $f(1, . , .)$ и $f(2, . , .)$. Не знаю точно, но это скорее всего неверно. Должна быть очень кривая формула.
Со второй формулой примерно то же самое.
С третьей мне было очень тяжело.

Надо свойство.
Следующая операция у нас есть композиция предыдущих (число композиций равно 2-й переменной).
Вряд ли. Из моего определения не получишь. Надо какое-то свойство находить и обобщать уже от него.
Не знаю.

А может действительно через логарифм вводить. Типа $ln(f(m+1, a, b)) = f(m, ln(a), ln(b))$.
Нет, это уже что-то совсем другое.

Или я что-то неправильно понял?

[Бодигрим]

Sonic86 в сообщении #142016 писал(а):

Видимо вообще $f(m+1, a, b) = f(m,f(m,f(m, ... , b) , b) , b)$ - всего a раз,
ну или с возможностью неассоциативности $f(m+1, a, b) = f(m ,a, f(m ,a, f(m ,a, ...)))$ - всего b раз.
(ну вот видите, уже 2 варианта получаются, к тому же пока придется ограничиться $a, b \in \mathbb{N}$)

Если учесть, что мы хотим получить $f(3,a,b)=a^b$, то остается только второй вариант определения. С ограничением только на $b$: $b\in\mathbb{N}$.

Это ограничение можно преодолеть тем или иным образом. Мне кажется наиболее естественным следующий. Пусть $l(\alpha,b,\varphi)$ такова, что $f(\alpha,l(\alpha,b,\varphi),b)=\varphi$, т. е. $l$ - "левая" (хотя в ваших обозначениях - скорее "центральная") обратная функция. Тогда при $b={m\over n}\in\mathbb{Q}$ положим $f(\alpha,a,b) = l(\alpha,n,f(\alpha,a,m))$. Правда пока что мне не ясно, корректно ли это определение в общем случае: не зависит ли результат от вида выбранной для представления $b$ дроби?

[OM618]

Anton Nonko в сообщении #141953 писал(а):

вопрос к автору: чему равно3^3^3 ?

a[A+1]b=a[A]a[A+1](b-1)= a[A]a[A]....[A]a здесь b раз по a, порядок действий справо на лево. 3[4]3=3[3]3[3]3=3[3]27=3[3]3[4]2=19683[3]3=7625597484987

[Anton Nonko]

OM618 в сообщении #142241 писал(а):

порядок действий справо на лево

Собственно, это я и хотел услышать. Но почему не слева направо? По моему, польза от обсуждаемого обобщения будет, если оно объяснит, почему сложение и умножение коммутативны, а возведение в степень - уже нет.