2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 00:07 


14/02/19
7
Доброго времени суток! Есть у кого-нибудь соображения насчет проблемы ниже?

Положим, что имеем функцию $\varphi$, удовлетворяющую условиям:
1. Функция $\varphi$ возрастает, т.е. $\varphi(x_1+x'_1,...,x_n+x_n')>\varphi(x_1,...,x_n)$, где $x_j,x_j'\in \mathbb{R}_{+}^n$ - множество положительных чисел $\forall j=1...n$;
2. Функция $\varphi$ - однородная функция первого порядка, т.е. $\varphi(a\vec{x})$=$a\varphi(\vec{x})$ $\forall a\in \mathbb{R}_{+}$, $\forall \vec{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}$;
3. Функция $\varphi$ положительна.

Обозначим через $D$ пространство всех действительных, положительных функций, которые определены на $ \mathbb{R}_{+}^n$.

Обозначим через $F\subset D$ совокупность всех возрастающих, однородных, положительных функций, определенных на $ \mathbb{R}_{+}^n$.

Проблема состоит в следующем: имеет ли место возможность задать такую топологию на $D$, чтобы множество $F$ являлось замыканием множества $F^{(1)}=\{f\in F: f - \textup{дифференцируема}\}$ в $D \ $?

Благодарю за содействие!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 00:19 


20/03/14
12041
WBTB
А у Вас какие соображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 03:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
WBTB в сообщении #1420598 писал(а):
Проблема состоит в следующем: имеет ли место возможность задать такую топологию на $D$, чтобы множество $F$ являлось замыканием множества $F^{(1)}=\{f\in F: f - \textup{дифференцируема}\}$ в $D \ $?

Подойдет, например, антидискретная топология :-) Но это ведь не то, что Вы хотите. Так что задача требует уточнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 10:12 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
demolishka в сообщении #1420611 писал(а):
Подойдет, например, антидискретная топология

Нет, не подойдет. В антидискретной замыкание $F^{(1)}$ --- это, очевидно, всё $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 13:28 


14/02/19
7
На ум приходит топология поточечной сходимости. В таком случае множество $F$ будет замкнутым. Но как это доказать (или опровергнуть)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group