2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 00:07 


14/02/19
7
Доброго времени суток! Есть у кого-нибудь соображения насчет проблемы ниже?

Положим, что имеем функцию $\varphi$, удовлетворяющую условиям:
1. Функция $\varphi$ возрастает, т.е. $\varphi(x_1+x'_1,...,x_n+x_n')>\varphi(x_1,...,x_n)$, где $x_j,x_j'\in \mathbb{R}_{+}^n$ - множество положительных чисел $\forall j=1...n$;
2. Функция $\varphi$ - однородная функция первого порядка, т.е. $\varphi(a\vec{x})$=$a\varphi(\vec{x})$ $\forall a\in \mathbb{R}_{+}$, $\forall \vec{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}$;
3. Функция $\varphi$ положительна.

Обозначим через $D$ пространство всех действительных, положительных функций, которые определены на $ \mathbb{R}_{+}^n$.

Обозначим через $F\subset D$ совокупность всех возрастающих, однородных, положительных функций, определенных на $ \mathbb{R}_{+}^n$.

Проблема состоит в следующем: имеет ли место возможность задать такую топологию на $D$, чтобы множество $F$ являлось замыканием множества $F^{(1)}=\{f\in F: f - \textup{дифференцируема}\}$ в $D \ $?

Благодарю за содействие!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 00:19 


20/03/14
12041
WBTB
А у Вас какие соображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 03:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
WBTB в сообщении #1420598 писал(а):
Проблема состоит в следующем: имеет ли место возможность задать такую топологию на $D$, чтобы множество $F$ являлось замыканием множества $F^{(1)}=\{f\in F: f - \textup{дифференцируема}\}$ в $D \ $?

Подойдет, например, антидискретная топология :-) Но это ведь не то, что Вы хотите. Так что задача требует уточнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 10:12 
Заслуженный участник


18/01/15
3318
demolishka в сообщении #1420611 писал(а):
Подойдет, например, антидискретная топология

Нет, не подойдет. В антидискретной замыкание $F^{(1)}$ --- это, очевидно, всё $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение14.10.2019, 13:28 


14/02/19
7
На ум приходит топология поточечной сходимости. В таком случае множество $F$ будет замкнутым. Но как это доказать (или опровергнуть)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group