Задача по топологии

[WBTB]

Доброго времени суток! Есть у кого-нибудь соображения насчет проблемы ниже?

Положим, что имеем функцию $\varphi$, удовлетворяющую условиям:
1. Функция $\varphi$ возрастает, т.е. $\varphi(x_1+x'_1,...,x_n+x_n')>\varphi(x_1,...,x_n)$, где $x_j,x_j'\in \mathbb{R}_{+}^n$ - множество положительных чисел $\forall j=1...n$;
2. Функция $\varphi$ - однородная функция первого порядка, т.е. $\varphi(a\vec{x})$=$a\varphi(\vec{x})$ $\forall a\in \mathbb{R}_{+}$, $\forall \vec{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}$;
3. Функция $\varphi$ положительна.

Обозначим через $D$ пространство всех действительных, положительных функций, которые определены на $ \mathbb{R}_{+}^n$.

Обозначим через $F\subset D$ совокупность всех возрастающих, однородных, положительных функций, определенных на $ \mathbb{R}_{+}^n$.

Проблема состоит в следующем: имеет ли место возможность задать такую топологию на $D$, чтобы множество $F$ являлось замыканием множества $F^{(1)}=\{f\in F: f - \textup{дифференцируема}\}$ в $D \ $?

Благодарю за содействие!

[Lia]

WBTB
А у Вас какие соображения?

[demolishka]

WBTB в сообщении #1420598 писал(а):

Проблема состоит в следующем: имеет ли место возможность задать такую топологию на $D$, чтобы множество $F$ являлось замыканием множества $F^{(1)}=\{f\in F: f - \textup{дифференцируема}\}$ в $D \ $?

Подойдет, например, антидискретная топология Но это ведь не то, что Вы хотите. Так что задача требует уточнения.

[vpb]

demolishka в сообщении #1420611 писал(а):

Подойдет, например, антидискретная топология

Нет, не подойдет. В антидискретной замыкание $F^{(1)}$ --- это, очевидно, всё $D$.

[WBTB]

На ум приходит топология поточечной сходимости. В таком случае множество $F$ будет замкнутым. Но как это доказать (или опровергнуть)?