Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?

[Ktina]

Тацечка разрезала квадрат на квадратики двух размеров таким образом, что маленьких квадратиков оказалось столько же, сколько и больших. Кацечка не видела Тацечкин квадрат, но утверждает, что маленьких квадратиков у Тацечки получилось уж точно не меньше 9.

Права ли Кацечка?

[Gagarin1968]

Ответ на вопрос в заголовке - нет.

Ответ на вопрос в тексте задачи - да.

Я сначала пытался решить чисто геометрически, но не хватало какого-то последнего штриха.

А потом поверил "алгеброй гармонию", и всё срослось.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$, а стороны меньших квадратов $b$ и $c$, причём $a>b>c$.

Значит, площадь исходного квадрата равна $a^2=nb^2+nc^2$, где $n$ - количество квадратов одного типа.

Проще всего этому равенству удовлетворяют числа, полученные из простейшей пифагоровой тройки, а именно, равенство $5^2=4^2+3^2$ надо умножить на число $n$, являющееся полным квадратом.

При $n=1$ разрезать, понятно, нельзя, при $n=4$ - тоже.

А вот при $n=9$ - можно. В этом случае получается $a=15, b=4, c=3$.

Картинку показать? Хотя в принципе, я надеюсь, и так понятно.

[mihaild]

Gagarin1968, а кто вам сказал, что числа целые?

[Gagarin1968]

mihaild в сообщении #1420484 писал(а):

Gagarin1968, а кто вам сказал, что числа целые?

Никто не сказал, я сам так решил, поскольку задача стандартная, и разрезают обычно по клеткам.
А что, я лоханулся был неправ?

[mihaild]

Gagarin1968, это к автору задачи вопрос. По умолчанию могут быть и не целые.
Кроме того, у вас кажется не рассматриваются и случаи когда $n$ - не точный квадрат (при этом понятно тройка $a, b, c$ не будет пифагоровой).

[Ktina]

mihaild в сообщении #1420488 писал(а):

Gagarin1968, это к автору задачи вопрос. По умолчанию могут быть и не целые.

Числа - вещественные, положительные.

[photon]

Мне кажется, что без потери общности можно считать сторону разрезаемого квадрата единичной, и тогда, думаю, можно показать, что квадраты-части должны быть с рациональными сторонами, а дальше, опять же без потери общности, можно перейти к целым и воспользоваться решением от Gagarin1968-а.

-- Tue Oct 15, 2019 14:44:34 --

mihaild в сообщении #1420488 писал(а):

Кроме того, у вас кажется не рассматриваются и случаи когда $n$ - не точный квадрат (при этом понятно тройка $a, b, c$ не будет пифагоровой).

А вот это надо как-то отдельно рассматривать...

[wrest]

А каким вообще может быть число мелких квадратов? В OEIS не нашлось подходящей последовательности...

[Vladimir-80]

Вот графическое представление задачи:


Можно так и сяк пытаться приткнуть друг к другу разные квадратики числом менее девяти - не срастаются...

-- 15.10.2019, 17:12 --

wrest в сообщении #1420889 писал(а):

А каким вообще может быть число мелких квадратов? В OEIS не нашлось подходящей последовательности...

Следующий квадрат - 25:


Возможно квадраты нечётных чисел сработают?

[waxtep]

Интерсно, можно ли все таки разбить исходный единичный квадрат на квадратики с несоизмеримыми сторонами? Ну вот возьмем по $16$ квадратов со сторонами $\frac{1+1/\sqrt8}6$ и $\frac{1-1/\sqrt8}6$; их суммарная площадь единична; и единичная сторона бьется на три таких и три этаких квадратика; в то же время отношение сторон квадратиков иррационально...