2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение12.10.2019, 15:55 
Аватара пользователя
Тацечка разрезала квадрат на квадратики двух размеров таким образом, что маленьких квадратиков оказалось столько же, сколько и больших. Кацечка не видела Тацечкин квадрат, но утверждает, что маленьких квадратиков у Тацечки получилось уж точно не меньше 9.

Права ли Кацечка?

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение13.10.2019, 14:33 
Аватара пользователя
Ответ на вопрос в заголовке - нет.

Ответ на вопрос в тексте задачи - да.

Я сначала пытался решить чисто геометрически, но не хватало какого-то последнего штриха.

А потом поверил "алгеброй гармонию", и всё срослось.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$, а стороны меньших квадратов $b$ и $c$, причём $a>b>c$.

Значит, площадь исходного квадрата равна $a^2=nb^2+nc^2$, где $n$ - количество квадратов одного типа.

Проще всего этому равенству удовлетворяют числа, полученные из простейшей пифагоровой тройки, а именно, равенство $5^2=4^2+3^2$ надо умножить на число $n$, являющееся полным квадратом.

При $n=1$ разрезать, понятно, нельзя, при $n=4$ - тоже.

А вот при $n=9$ - можно. В этом случае получается $a=15, b=4, c=3$.

Картинку показать? Хотя в принципе, я надеюсь, и так понятно.

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение13.10.2019, 14:47 
Аватара пользователя
Gagarin1968, а кто вам сказал, что числа целые?

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение13.10.2019, 14:53 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1420484 писал(а):
Gagarin1968, а кто вам сказал, что числа целые?
Никто не сказал, я сам так решил, поскольку задача стандартная, и разрезают обычно по клеткам.
А что, я лоханулся был неправ?

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение13.10.2019, 15:07 
Аватара пользователя
Gagarin1968, это к автору задачи вопрос. По умолчанию могут быть и не целые.
Кроме того, у вас кажется не рассматриваются и случаи когда $n$ - не точный квадрат (при этом понятно тройка $a, b, c$ не будет пифагоровой).

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение13.10.2019, 15:19 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1420488 писал(а):
Gagarin1968, это к автору задачи вопрос. По умолчанию могут быть и не целые.

Числа - вещественные, положительные.

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение15.10.2019, 15:43 
Аватара пользователя
Мне кажется, что без потери общности можно считать сторону разрезаемого квадрата единичной, и тогда, думаю, можно показать, что квадраты-части должны быть с рациональными сторонами, а дальше, опять же без потери общности, можно перейти к целым и воспользоваться решением от Gagarin1968-а.

-- Tue Oct 15, 2019 14:44:34 --

mihaild в сообщении #1420488 писал(а):
Кроме того, у вас кажется не рассматриваются и случаи когда $n$ - не точный квадрат (при этом понятно тройка $a, b, c$ не будет пифагоровой).

А вот это надо как-то отдельно рассматривать...

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение15.10.2019, 16:15 
А каким вообще может быть число мелких квадратов? В OEIS не нашлось подходящей последовательности...

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение15.10.2019, 17:02 
Вот графическое представление задачи:
Изображение

Можно так и сяк пытаться приткнуть друг к другу разные квадратики числом менее девяти - не срастаются...

-- 15.10.2019, 17:12 --

wrest в сообщении #1420889 писал(а):
А каким вообще может быть число мелких квадратов? В OEIS не нашлось подходящей последовательности...

Следующий квадрат - 25:
Изображение

Возможно квадраты нечётных чисел сработают?

 
 
 
 Re: Может ли маленьких квадратиков оказаться меньше 9?
Сообщение29.10.2019, 03:34 
Аватара пользователя
Интерсно, можно ли все таки разбить исходный единичный квадрат на квадратики с несоизмеримыми сторонами? Ну вот возьмем по $16$ квадратов со сторонами $\frac{1+1/\sqrt8}6$ и $\frac{1-1/\sqrt8}6$; их суммарная площадь единична; и единичная сторона бьется на три таких и три этаких квадратика; в то же время отношение сторон квадратиков иррационально...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group