2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания связанных маятников.
Сообщение09.10.2019, 19:55 


18/12/17
227
Здравствуйте. Мой вопрос относится к системе, описанной здесь: http://genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mech/Lab119.pdf. В ней два математических маятника связаны пружиной. Все уравнения выводятся c учетом того, что массы маятников одинаковые. Преподаватель задал вопрос о том, что будет, если массы у них будут разные. Мои рассуждения в общем-то сходятся к тому, что соответствующая система уравнений просто будет намного сложнее, и не очень ясно, как ее решать. Может быть, требуются некоторые чисто физические соображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение09.10.2019, 20:03 


27/08/16
9426
inevitablee в сообщении #1419972 писал(а):
Мои рассуждения в общем-то сходятся к тому, что соответствующая система уравнений просто будет намного сложнее, и не очень ясно, как ее решать.
Из-за чего они будут "намного сложнее"? Обратите внимание, что и для двух маятников рассматривается линеаризованная модель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение09.10.2019, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ничего там сложнее не будет. Обычная линейная алгебра, нахождение собственных чисел и собственных векторов. Задача решена в ЛЛ-1 § 23.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение10.10.2019, 08:58 


18/12/17
227
Munin
Но это как-то слишком, я только первый курс..

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение10.10.2019, 09:16 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
inevitablee в сообщении #1420047 писал(а):
Но это как-то слишком, я только первый курс..

ЛЛ 1 как раз для первого курса.
Выпишите линеаризованные уравнения движения для каждого из маятников (лучше через углы отклонения). Эти уравнения легко скомбинировать так, что система распадется на два независимых уравнения - это и будут уравнения для собственных мод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение10.10.2019, 17:59 


18/12/17
227
DimaM
Дело в том, что эту тему нам еще не рассказывали, но для задачи практикума с ней нужной как бы вкратце разобраться. Так вот: можно ли как-то ёмко ответить на вопрос из чисто физических соображений? Может быть, колебания просто быстро затухнут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 08:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):
Дело в том, что эту тему нам еще не рассказывали, но для задачи практикума с ней нужной как бы вкратце разобраться.

Но второй закон Ньютона-то вы знаете? Вот и напишите для каждого из маятников уравнения одно под другим и поглядите, какие интересные линейные комбинации этих уравнений можно сделать.

inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):
Так вот: можно ли как-то ёмко ответить на вопрос из чисто физических соображений?

Из физических соображений будут две собственные моды: в одной маятники отклоняются в фазе (в одну сторону), во второй - в противофазе (в разные стороны). Частоты у мод разные.
Общий случай - линейная комбинация этих двух колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 13:21 


27/08/16
9426
inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):
Может быть, колебания просто быстро затухнут?
На этот вопрос тривиально отвечает закон сохранения энергии.

-- 12.10.2019, 13:36 --

DimaM в сообщении #1420332 писал(а):
Из физических соображений будут две собственные моды: в одной маятники отклоняются в фазе (в одну сторону), во второй - в противофазе (в разные стороны).
Я, вот, не помню, при каких условиях фазы колебаний всех точек линейной механической системы в нормальной моде совпадают по модулю $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 15:30 


27/08/16
9426
Переформулируя. Всегда ли у механической недиссипативной системы с $N$ степенями свободы существует ровно $N$ независимых действительных мод?

UPD: да, это следствие положительной определённости симметрических матриц жесткости и масс системы.
Точнее, матрица жесткости может быть положительно полуопределённой, в этом случае возможно бесконечное поступательное перемещение частей системы. Но это, кажется, несущественное дополнение.

inevitablee,
зная, что у этой системы ровно две действительных нормальных моды, сможете ли вы угадать из физических соображений хотя бы одну для ваших маятников с различными массами? Вторая мода ей ортогональна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DimaM их уже назвал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 20:20 


27/08/16
9426
Munin в сообщении #1420409 писал(а):
DimaM их уже назвал.
Без амплитуд.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group