2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания связанных маятников.
Сообщение09.10.2019, 19:55 


18/12/17
227
Здравствуйте. Мой вопрос относится к системе, описанной здесь: http://genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mech/Lab119.pdf. В ней два математических маятника связаны пружиной. Все уравнения выводятся c учетом того, что массы маятников одинаковые. Преподаватель задал вопрос о том, что будет, если массы у них будут разные. Мои рассуждения в общем-то сходятся к тому, что соответствующая система уравнений просто будет намного сложнее, и не очень ясно, как ее решать. Может быть, требуются некоторые чисто физические соображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение09.10.2019, 20:03 


27/08/16
9426
inevitablee в сообщении #1419972 писал(а):
Мои рассуждения в общем-то сходятся к тому, что соответствующая система уравнений просто будет намного сложнее, и не очень ясно, как ее решать.
Из-за чего они будут "намного сложнее"? Обратите внимание, что и для двух маятников рассматривается линеаризованная модель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение09.10.2019, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ничего там сложнее не будет. Обычная линейная алгебра, нахождение собственных чисел и собственных векторов. Задача решена в ЛЛ-1 § 23.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение10.10.2019, 08:58 


18/12/17
227
Munin
Но это как-то слишком, я только первый курс..

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение10.10.2019, 09:16 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
inevitablee в сообщении #1420047 писал(а):
Но это как-то слишком, я только первый курс..

ЛЛ 1 как раз для первого курса.
Выпишите линеаризованные уравнения движения для каждого из маятников (лучше через углы отклонения). Эти уравнения легко скомбинировать так, что система распадется на два независимых уравнения - это и будут уравнения для собственных мод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение10.10.2019, 17:59 


18/12/17
227
DimaM
Дело в том, что эту тему нам еще не рассказывали, но для задачи практикума с ней нужной как бы вкратце разобраться. Так вот: можно ли как-то ёмко ответить на вопрос из чисто физических соображений? Может быть, колебания просто быстро затухнут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 08:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):
Дело в том, что эту тему нам еще не рассказывали, но для задачи практикума с ней нужной как бы вкратце разобраться.

Но второй закон Ньютона-то вы знаете? Вот и напишите для каждого из маятников уравнения одно под другим и поглядите, какие интересные линейные комбинации этих уравнений можно сделать.

inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):
Так вот: можно ли как-то ёмко ответить на вопрос из чисто физических соображений?

Из физических соображений будут две собственные моды: в одной маятники отклоняются в фазе (в одну сторону), во второй - в противофазе (в разные стороны). Частоты у мод разные.
Общий случай - линейная комбинация этих двух колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 13:21 


27/08/16
9426
inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):
Может быть, колебания просто быстро затухнут?
На этот вопрос тривиально отвечает закон сохранения энергии.

-- 12.10.2019, 13:36 --

DimaM в сообщении #1420332 писал(а):
Из физических соображений будут две собственные моды: в одной маятники отклоняются в фазе (в одну сторону), во второй - в противофазе (в разные стороны).
Я, вот, не помню, при каких условиях фазы колебаний всех точек линейной механической системы в нормальной моде совпадают по модулю $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 15:30 


27/08/16
9426
Переформулируя. Всегда ли у механической недиссипативной системы с $N$ степенями свободы существует ровно $N$ независимых действительных мод?

UPD: да, это следствие положительной определённости симметрических матриц жесткости и масс системы.
Точнее, матрица жесткости может быть положительно полуопределённой, в этом случае возможно бесконечное поступательное перемещение частей системы. Но это, кажется, несущественное дополнение.

inevitablee,
зная, что у этой системы ровно две действительных нормальных моды, сможете ли вы угадать из физических соображений хотя бы одну для ваших маятников с различными массами? Вторая мода ей ортогональна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DimaM их уже назвал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания связанных маятников.
Сообщение12.10.2019, 20:20 


27/08/16
9426
Munin в сообщении #1420409 писал(а):
DimaM их уже назвал.
Без амплитуд.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: stalvoron


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group