Колебания связанных маятников.

[inevitablee]

Здравствуйте. Мой вопрос относится к системе, описанной здесь: http://genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mech/Lab119.pdf. В ней два математических маятника связаны пружиной. Все уравнения выводятся c учетом того, что массы маятников одинаковые. Преподаватель задал вопрос о том, что будет, если массы у них будут разные. Мои рассуждения в общем-то сходятся к тому, что соответствующая система уравнений просто будет намного сложнее, и не очень ясно, как ее решать. Может быть, требуются некоторые чисто физические соображения?

[realeugene]

inevitablee в сообщении #1419972 писал(а):

Мои рассуждения в общем-то сходятся к тому, что соответствующая система уравнений просто будет намного сложнее, и не очень ясно, как ее решать.

Из-за чего они будут "намного сложнее"? Обратите внимание, что и для двух маятников рассматривается линеаризованная модель.

[Munin]

Ничего там сложнее не будет. Обычная линейная алгебра, нахождение собственных чисел и собственных векторов. Задача решена в ЛЛ-1 § 23.

[inevitablee]

Munin
Но это как-то слишком, я только первый курс..

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1420047 писал(а):

Но это как-то слишком, я только первый курс..

ЛЛ 1 как раз для первого курса.
Выпишите линеаризованные уравнения движения для каждого из маятников (лучше через углы отклонения). Эти уравнения легко скомбинировать так, что система распадется на два независимых уравнения - это и будут уравнения для собственных мод.

[inevitablee]

DimaM
Дело в том, что эту тему нам еще не рассказывали, но для задачи практикума с ней нужной как бы вкратце разобраться. Так вот: можно ли как-то ёмко ответить на вопрос из чисто физических соображений? Может быть, колебания просто быстро затухнут?

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):

Дело в том, что эту тему нам еще не рассказывали, но для задачи практикума с ней нужной как бы вкратце разобраться.

Но второй закон Ньютона-то вы знаете? Вот и напишите для каждого из маятников уравнения одно под другим и поглядите, какие интересные линейные комбинации этих уравнений можно сделать.

inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):

Так вот: можно ли как-то ёмко ответить на вопрос из чисто физических соображений?

Из физических соображений будут две собственные моды: в одной маятники отклоняются в фазе (в одну сторону), во второй - в противофазе (в разные стороны). Частоты у мод разные.
Общий случай - линейная комбинация этих двух колебаний.

[realeugene]

inevitablee в сообщении #1420114 писал(а):

Может быть, колебания просто быстро затухнут?

На этот вопрос тривиально отвечает закон сохранения энергии.

-- 12.10.2019, 13:36 --

DimaM в сообщении #1420332 писал(а):

Из физических соображений будут две собственные моды: в одной маятники отклоняются в фазе (в одну сторону), во второй - в противофазе (в разные стороны).

Я, вот, не помню, при каких условиях фазы колебаний всех точек линейной механической системы в нормальной моде совпадают по модулю $\pi$?

[realeugene]

Переформулируя. Всегда ли у механической недиссипативной системы с $N$ степенями свободы существует ровно $N$ независимых действительных мод?

UPD: да, это следствие положительной определённости симметрических матриц жесткости и масс системы.
Точнее, матрица жесткости может быть положительно полуопределённой, в этом случае возможно бесконечное поступательное перемещение частей системы. Но это, кажется, несущественное дополнение.

inevitablee,
зная, что у этой системы ровно две действительных нормальных моды, сможете ли вы угадать из физических соображений хотя бы одну для ваших маятников с различными массами? Вторая мода ей ортогональна.

[Munin]

DimaM их уже назвал.

[realeugene]

Munin в сообщении #1420409 писал(а):

DimaM их уже назвал.

Без амплитуд.