Частоты, частоты

[dovlato]

Через невесомый идеальный блок перекинута невесомая не растягивающаяся нить. К ней подвешены два тела.
Ось блока висит на пружине, верхний конец её закреплён.
Если блок застопорен, то есть лишён возможности вращаться, то такой пружинный маятник имеет определённую частоту собственных вертикальных (достаточно малых) колебаний. Если блок освободить, дав ему возможность вращаться без трения, то частота вертикальных колебаний оси изменяется в $k$ раз.
Найти отношение масс подвешенных тел.

[Emergency]

Требуется поясняющий чертеж. Без него создается впечатление, что тела (грузы?) висят с обеих сторон блока, уравновешивая друг друга, то есть имеют одинаковую массу. Но тогда вопрос не имеет смысла.

[wrest]

Emergency
Да не, тут вопрос как меняется вес действующий на блок при его разблокировке, и отсюда найти искомое. Можете считать, что ось осталась заблокированной, масса груза осталась та же, но поменялось ускорение свободного падения.

[dovlato]

Массы, вообще говоря, разные. Но помимо ускоренного раскручивания блока, происходят ещё и вертикальные колебания.

[Emergency]

dovlato в сообщении #1420167 писал(а):

Массы, вообще говоря, разные. Но помимо ускоренного раскручивания блока, происходят ещё и вертикальные колебания.

Понятно. Значит так:

[EUgeneUS]

если нигде не запутался.
$\frac{m_1}{m_2} = B + \sqrt{B^2 -1}$
$B = (2k)^2 - 1$
$m_1 > m_2$
Отношение частот $k$ берется таким образом, чтобы $k > 1$

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1420234 писал(а):

$B = (2k)^2 - 1$

Здесь опечатка, скобки лишние: $B = 2k^2 - 1$

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1420237 писал(а):

Здесь опечатка,

Ошибка

[zvm]

wrest в сообщении #1420156 писал(а):

масса груза осталась та же, но поменялось ускорение свободного падения.

Разве частота колебаний пружинного маятника зависит от ускорения свободного падения?

[wrest]

zvm в сообщении #1420245 писал(а):

Разве частота колебаний пружинного маятника зависит от ускорения свободного падения?

Я весьма туманно выразился, сорри. Ускорение свободного падения не надо было приплетать сюда. Нет, не зависит, но "инертная масса" блока с грузами (та масса, которая входит в формулу частоты колебаний груза на пружине) - зависит.
При равных массах грузов, или при застопоренном блоке "инертная масса" равна сумме масс грузов. А если груз один (а масса второго равна нулю) и блок не застопорен, то "инертная масса" блока равна нулю.
Частота колебаний (коэффициенты опускаем) $f \cong \dfrac{const}{\sqrt{m}}$, откуда видно, что зависимость квадратичная $k^2=\dfrac{m_1}{m_2}$ где $m_1>m_2$ -- "инертные массы" застопоренного\свободно вращающегося блока с грузами (то есть при уменьшении "инертной массы" в $k^2$ раз, частота колебаний увеличивается в $k$ раз).

P.S.
Мне лично в этой задаче не нравится то, что грузы подвешены на нитях, и чтобы все работало, нити должны быть всегда натянуты, а это накладывает ограничения. Чем тут нити корректно заменить - не знаю.

[rascas]

wrest в сообщении #1420248 писал(а):

Мне лично в этой задаче не нравится то, что грузы подвешены на нитях, и чтобы все работало, нити должны быть всегда натянуты, а это накладывает ограничения.

Вроде всё корректно, амплитуда колебаний указана как "достаточно малая". Ускорение движения блока соответственно тоже будет маленьким. И изменение сил приложенных к блоку, во время колебаний, тоже будет мало. Т.о. нить всегда будет натянута.

[wrest]

rascas в сообщении #1420250 писал(а):

Вроде всё корректно, амплитуда колебаний указана как "достаточно малая". Ускорение движения блока соответственно тоже будет маленьким.

Да, я и не говорю, что задача некорректная.
Но $(A\sin \omega t)''=-A\omega ^2 \sin \omega t$ - с частотой ускорение растет квадратично при той же амплитуде.
И если для качающегося маятника малость колебаний нужна чтобы $\alpha \approx \sin \alpha$ (и возвращающая сила была пропорциональна величине отклонения), то для пружинного малость колебаний нужна чтобы закон Гука продолжал выполняться, а пружина бы не сжалась в минус и не порвалась.

[Emergency]

wrest в сообщении #1420252 писал(а):

Но $(A\sin \omega t)''=-A\omega ^2 \sin \omega t$ - с частотой ускорение растет квадратично при той же амплитуде.

То есть при достаточно большом отношении масс амплитуда может стать недостаточно малой.

[dovlato]

Конечно, нити должны быть всё время натянуты. Это уже отдельная задача - определение, каковы должны быть ограничения на амплитуду при различных $k$.
Мне показалось любопытным то, что вполне школьными средствами просчитывается система с 2-мя степенями свободы.

[reterty]

Что-то у меня и получается и не получается решение этой задачи. Понятно, что в выражении для частоты должна фигурировать эффективная масса системы. Выражается она через отношение общей силы натяжения двух нитей к $g$. В первом случае $T=(m_1+m_2)g$ и, следовательно, эффективная масса равна $m_1+m_2$. Для второго случая составляю, ставшую уже "классической" систему двух уравнений движения грузов с двумя неизвестными: ускорением $a$ каждого из грузов и одинаковой силы натяжения $T$ обоих нитей. Вроде все ок и общая сила натяжения равно удвоенной силе натяжения нитей. Но на самом деле все гораздо серьезнее-ведь надо рассматривать движение каждого из грузов в неинерциальной системе отсчета, связанной с колеблющимся блоком. При этом в систему влазят силы инерции при поступательном движении. И система содержит третье неизвестное-ускорение системы... Что дальше делать -ума не приложу