Построение множества натуральных чисел

[arseniiv]

Sdy в сообщении #1415252 писал(а):

То есть формально говоря, я ввожу $\forall n, m \in \mathbb{N}$ отношение $R(n,m)$, которое определяется обычными свойствами равенства и при этом удовлетворяет аксиомам Пеано?

Тут всё тоньше, потому что если мы берём конкретную модель аксиом Пеано — $\mathbb N$ — то равенство там есть уже изначально как и на любом другом множестве. И часто такими моделями, т. н. нормальными, где $=$ интерпретируется обычным равенством, и ограничиваются. Вообще $=$ может интерпретироваться отношением эквивалентности «более размытым», но таким, что с ним совместимы все функции и другие отношения, которыми интерпретируются остальные символы (${+}, {<},\ldots$). В качестве простой такой «ненормальной модели» можно представить объединение двух копий $\mathbb N_1,\mathbb N_2$ такое, что там мы не можем отличить $n_1$ от $n_2$, используя только язык арифметики.

В общем проще считать равенство логическим символом.

[beroal]

Sdy в сообщении #1414060 писал(а):

Как вообще понимается равенство натуральных чисел и почему его можно не определяя использовать в аксиоматике Пеано?
Странно как-то получается, что определяя множество $T$ на котором будет работать равенство мы используем ещё не определённое равенство.

И свойства равенства, и аксиомы Пеано являются теоремами в теории множеств. Вместо теории множеств можно взять теорию типов. Если вы не собираетесь сейчас погружаться в эти теории, просто принимайте это на веру.

[arseniiv]

(Но равенство и в этих теориях мы определяем изначально так, чтобы было поближе к свойству Лейбница, которое упоминал epros.)

[Sdy]

Попробую продолжить построение, предварительно выписав, что на данный момент мне известно и что я умею доказывать:
Аксиоматика Пеано:
1)$0$ - натуральное число.
2)Если $n$ - натуральное, то $n++$ - натуральное.
3)Из $n \ne m \Rightarrow n++ \ne m++$.
Тут же с помощью контрапозиции $n++ = m++ \Rightarrow n = m$ и с помощью аксиомы подстановки $n = m \Rightarrow n++ = m++$.
4)Не существует такого натурального $n : n++ = 0$.
5)Если $P(n)$ - некоторое свойство, верное для натурального числа, это свойство верно при $n = 0$ и для всякого натурального числа $n$ из того что оно верно для $n$ следует, что оно верно для $n++$, тогда это свойство верно для любого натурального числа.
Сложение натуральных чисел было определено рекурсивно так:
1)$0 + m := m$.
Пусть мы умеем находить сумму $n+m$, тогда сумма $(n++) + m = (n+m)++$.
Далее доказали следующие соотношения (далее $m,n,a,b,c$ - натуральные числа):
1)$n+m$ - натуральное число.
2)$n + 0 = n$.
3)$n+(m++) = (n+m)++$.
4)$n++ = n+1$.
5)$n+m = m + n$.
6)$(a+b)+c = a+(b+c)$.
7)Если $a + b = a + c \Rightarrow b = c$.
8)$\forall a \ne 0 \exists ! b \in \mathbb{N} : b++ = a$
Определили положительное число, как натуральное, неравное нулю.
9)Если $a$ - положительное и $b$ - натуральное, то $a+b$ - положительное число.
10)$a + b = 0 \Leftrightarrow (a = 0 \wedge b = 0)$
Начали вводить порядок на натуральных числах как:
$n \geqslant m \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{N} : n = m +a$.
$n > m \Leftrightarrow (\exists a \in \mathbb{N} : n = m +a) \wedge (n \ne m)$.

Необходимо доказать следующий набор утверждений: (далее $a, b, c, d$ - натуральные числа)
a)$a \geqslant a$
b)$(a \geqslant b \wedge b \geqslant c) \Rightarrow a \geqslant c$
c)$(a \geqslant b \wedge b \geqslant a) \Rightarrow a = b$
d)$a \geqslant b \Leftrightarrow a+c \geqslant b + c$
e)$a < b \Leftrightarrow a++ \geqslant b$
f)$a < b \Leftrightarrow b = a + d, d \ne 0$

Докажем их по порядку (далее $a,b,c,e_1 ,e_2, e_2$ - натуральные числа).
a
$a = a + 0 \Rightarrow a \geqslant a$
b
Если $a \geqslant b \wedge b \geqslant c$, тогда $a = b+e_1$ и $b = c+e_2$, но тогда $a = c + e_1 + e_2 = c + e_3$, что означает, что $a \geqslant c$.
c
Если $a \geqslant b \wedge b \geqslant a$, то $a = b +e_1$ и $b = a + e_2$. Значит $a = a+e_1+e_2$, но тогда $e_1 + e_2 = 0$, а значит $e_1 = e_2 = 0$ и $a = b $.
d
Для начала пусть $a \geqslant b$. Тогда $a = b+e_1$, а в силу аксиомы подстановки $a + c = b+e_1+c \Rightarrow a + c = (b + c) + e_1 \Rightarrow a+c \geqslant b + c$.
Теперь пусть $a + c \geqslant b + c$. Тогда $c + a = c + (b + e_1)$, следовательно $a = b+e_1$, что означает по определению, что $a \geqslant b$.
e
Пусть, сначала $a < b$, значит $a = b + c$ и $a \ne b$. В силу аксиомы подстановки и определения сложения, получаем, что $a++ = (b+c)++ = b+ c++ = b+e_1$, значит $a++ \geqslant b$.
Теперь нужно доказать, что $a++ \geqslant b \Rightarrow a < b$.
Воспользуемся контрапозицией, докажем, что $a \geqslant b \Rightarrow a++ > b$.
Для начала, предположим, что $a++ = b$. Так как $a \geqslant b$, то $a = b+e_1 \Rightarrow a++ = b + e_1++ \Rightarrow 0 = e_1++$, пришли к противоречию.
Осталось показать, что $a++ = b+e_1$. Но это так как $a = b+e_1 \Rightarrow a++ = b+e_1++ = b+e_2$, то все доказано.
f
Просто по определению, $a = b + d$, причем если $d = 0$, то $a = b$, что неверно.
Теперь, пусть $b = a +d$, причём $d \ne 0$. Предположим, что при этом $a = b$. Но тогда сразу (по $7$) $d = 0$, что неверно. Значит, по определению, $b > a$.
Вопросы.
1)Хотелось бы, удостовериться, что во-первых я нигде не ошибся, а во-вторых - не вылез за рамки доказанных уже свойств, принятых аксиом и знания о том, что такое равенство как отношение.
2)Пусть $a = c+b \wedge b = m$. Я делаю вывод, что $a = c + m$. Это аксиома подстановки тут работает же?

[Sdy]

Sdy в сообщении #1419998 писал(а):

e)$a < b \Leftrightarrow a++ \geqslant b$

Неверно, как и доказательство.
Попытка номер два.
e)$a < b \Leftrightarrow a++ \leqslant b$.
Доказательство.
Сначала докажем $\Rightarrow$. $a < b \Rightarrow b = a + d \wedge d \ne 0$ (доказывали это в $f$).
Но $b = a + d = a + (c++) = (a+c)++ = (a++) + c$, но $c$ уже может быть равно нулю, значит и правда $a++ \leqslant b$.
Теперь докажем в обратную сторону. Пусть $b = (a++) + d$ Тогда $b = (a++) + d = (a+d)++ = a+(d++) = a + k$, причем $k \ne 0$, а значит $a < b$. $\triangle$.