2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение15.09.2019, 22:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sdy в сообщении #1415252 писал(а):
То есть формально говоря, я ввожу $\forall n, m \in \mathbb{N}$ отношение $R(n,m)$, которое определяется обычными свойствами равенства и при этом удовлетворяет аксиомам Пеано?
Тут всё тоньше, потому что если мы берём конкретную модель аксиом Пеано — $\mathbb N$ — то равенство там есть уже изначально как и на любом другом множестве. И часто такими моделями, т. н. нормальными, где $=$ интерпретируется обычным равенством, и ограничиваются. Вообще $=$ может интерпретироваться отношением эквивалентности «более размытым», но таким, что с ним совместимы все функции и другие отношения, которыми интерпретируются остальные символы (${+}, {<},\ldots$). В качестве простой такой «ненормальной модели» можно представить объединение двух копий $\mathbb N_1,\mathbb N_2$ такое, что там мы не можем отличить $n_1$ от $n_2$, используя только язык арифметики.

В общем проще считать равенство логическим символом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение15.09.2019, 22:54 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Sdy в сообщении #1414060 писал(а):
Как вообще понимается равенство натуральных чисел и почему его можно не определяя использовать в аксиоматике Пеано?
Странно как-то получается, что определяя множество $T$ на котором будет работать равенство мы используем ещё не определённое равенство.

И свойства равенства, и аксиомы Пеано являются теоремами в теории множеств. Вместо теории множеств можно взять теорию типов. Если вы не собираетесь сейчас погружаться в эти теории, просто принимайте это на веру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение16.09.2019, 11:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Но равенство и в этих теориях мы определяем изначально так, чтобы было поближе к свойству Лейбница, которое упоминал epros.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.10.2019, 21:15 


07/08/16
328
Попробую продолжить построение, предварительно выписав, что на данный момент мне известно и что я умею доказывать:
Аксиоматика Пеано:
1)$0$ - натуральное число.
2)Если $n$ - натуральное, то $n++$ - натуральное.
3)Из $n \ne m \Rightarrow n++ \ne m++$.
Тут же с помощью контрапозиции $n++ = m++ \Rightarrow n = m$ и с помощью аксиомы подстановки $n = m \Rightarrow n++ = m++$.
4)Не существует такого натурального $n : n++ = 0$.
5)Если $P(n)$ - некоторое свойство, верное для натурального числа, это свойство верно при $n = 0$ и для всякого натурального числа $n$ из того что оно верно для $n$ следует, что оно верно для $n++$, тогда это свойство верно для любого натурального числа.
Сложение натуральных чисел было определено рекурсивно так:
1)$0 + m := m$.
Пусть мы умеем находить сумму $n+m$, тогда сумма $(n++) + m = (n+m)++$.
Далее доказали следующие соотношения (далее $m,n,a,b,c$ - натуральные числа):
1)$n+m$ - натуральное число.
2)$n + 0 = n$.
3)$n+(m++) = (n+m)++$.
4)$n++ = n+1$.
5)$n+m = m + n$.
6)$(a+b)+c = a+(b+c)$.
7)Если $a + b = a + c \Rightarrow b = c$.
8)$\forall a \ne 0 \exists ! b \in \mathbb{N} : b++ = a$
Определили положительное число, как натуральное, неравное нулю.
9)Если $a$ - положительное и $b$ - натуральное, то $a+b$ - положительное число.
10)$a + b = 0 \Leftrightarrow (a = 0 \wedge b = 0)$
Начали вводить порядок на натуральных числах как:
$n \geqslant m \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{N} : n = m +a$.
$n > m \Leftrightarrow (\exists a \in \mathbb{N} : n = m +a) \wedge (n \ne m)$.

Необходимо доказать следующий набор утверждений: (далее $a, b, c, d$ - натуральные числа)
a)$a \geqslant a$
b)$(a \geqslant b \wedge b \geqslant c) \Rightarrow a \geqslant c$
c)$(a \geqslant b \wedge b \geqslant a) \Rightarrow a = b$
d)$a  \geqslant b \Leftrightarrow a+c  \geqslant b + c$
e)$a < b \Leftrightarrow a++ \geqslant b$
f)$a < b \Leftrightarrow b = a + d, d \ne 0$

Докажем их по порядку (далее $a,b,c,e_1 ,e_2, e_2$ - натуральные числа).
a
$a = a + 0 \Rightarrow a \geqslant a$
b
Если $a \geqslant b \wedge b \geqslant c$, тогда $a = b+e_1$ и $b = c+e_2$, но тогда $a = c + e_1 + e_2 = c + e_3$, что означает, что $a \geqslant c$.
c
Если $a \geqslant b \wedge b \geqslant a$, то $a = b +e_1$ и $b = a + e_2$. Значит $a = a+e_1+e_2$, но тогда $e_1 + e_2 = 0$, а значит $e_1 = e_2 = 0$ и $a = b $.
d
Для начала пусть $a \geqslant b$. Тогда $a = b+e_1$, а в силу аксиомы подстановки $a + c = b+e_1+c \Rightarrow a + c = (b + c) + e_1 \Rightarrow a+c \geqslant b + c$.
Теперь пусть $a + c \geqslant b + c$. Тогда $c + a = c + (b + e_1)$, следовательно $a = b+e_1$, что означает по определению, что $a \geqslant b$.
e
Пусть, сначала $a < b$, значит $a = b + c$ и $a \ne b$. В силу аксиомы подстановки и определения сложения, получаем, что $a++ = (b+c)++ = b+ c++ = b+e_1$, значит $a++ \geqslant b$.
Теперь нужно доказать, что $a++ \geqslant b \Rightarrow a < b$.
Воспользуемся контрапозицией, докажем, что $a \geqslant b \Rightarrow a++ > b$.
Для начала, предположим, что $a++ = b$. Так как $a \geqslant b$, то $a = b+e_1 \Rightarrow a++ = b + e_1++ \Rightarrow  0 = e_1++$, пришли к противоречию.
Осталось показать, что $a++ = b+e_1$. Но это так как $a = b+e_1 \Rightarrow a++ = b+e_1++ = b+e_2$, то все доказано.
f
Просто по определению, $a = b + d$, причем если $d = 0$, то $a = b$, что неверно.
Теперь, пусть $b = a +d$, причём $d \ne 0$. Предположим, что при этом $a = b$. Но тогда сразу (по $7$) $d = 0$, что неверно. Значит, по определению, $b > a$.
Вопросы.
1)Хотелось бы, удостовериться, что во-первых я нигде не ошибся, а во-вторых - не вылез за рамки доказанных уже свойств, принятых аксиом и знания о том, что такое равенство как отношение.
2)Пусть $a = c+b \wedge b = m$. Я делаю вывод, что $a = c + m$. Это аксиома подстановки тут работает же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение19.10.2019, 15:56 


07/08/16
328
Sdy в сообщении #1419998 писал(а):
e)$a < b \Leftrightarrow a++ \geqslant b$

Неверно, как и доказательство.
Попытка номер два.
e)$a < b \Leftrightarrow a++ \leqslant b$.
Доказательство.
Сначала докажем $\Rightarrow$. $a < b \Rightarrow b = a + d \wedge d \ne 0$ (доказывали это в $f$).
Но $b = a + d = a + (c++) = (a+c)++ = (a++) + c$, но $c$ уже может быть равно нулю, значит и правда $a++ \leqslant b$.
Теперь докажем в обратную сторону. Пусть $b = (a++) + d$ Тогда $b = (a++) + d = (a+d)++ = a+(d++) = a + k$, причем $k \ne 0$, а значит $a < b$. $\triangle$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group