2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Один частный вопрос о диффеоморфных отображениях
Сообщение07.10.2019, 20:30 


01/07/19
19
В учебнике математического анализа Л.Д. Кудрявцева (трехтомник) наткнулся на абзац, который поставил меня в тупик. Вот этот абзац:

Изображение
Изображение
Никак не могу понять, зачем нужно дополнительное условие о взаимной однозначности отображения $G$ на $F(G)$ для справедливости $(46.39)$ и $(46.40)$. Автор нигде этого не поясняет. По-моему, это дополнительное условие просто лишнее. Вот ход моих мыслей для, например, $(46.40)$. Выберем произвольную точку $y$, принадлежащую границе множества $F(E)$. Поскольку $F$ локально диффеоморфно, у точки $y$ и любого ее прообраза $x$ существуют окрестности, которые взаимно однозначно отображаются друг в друга. Насколько бы малой ни взять такую окрестность точки $y$, эта окрестность содержит как точки, принадлежащие $F(E)$, так и точки, не принадлежащие $F(E)$, поскольку эта точка - граничная. Тогда и в соответствующей окрестности-прообразе точки $x$ (а эта окрестность, при наших условиях, будет бесконечно уменьшаться вслед за окрестностью точки $y$) тоже будут наличествовать как точки, принадлежащие множеству $E$, так и точки, ему не принадлежащие. Значит, точка $x$ будет граничной для множества $E$. Таким образом, граница множества $F(E)$ принадлежит образу границы множества $E$. Аналогичным путем, устремляя к нулю окрестность произвольной точки границы множества $E$, можно доказать, что образ границы множества $E$ принадлежит границе множества $F(E)$. Из доказанных двух включений следует формула $(46.40)$. Нигде в своем доказательстве я не использовал условие о взаимной однозначности отображения $G$ на $F(G)$.
Где я допустил ошибку? Или в учебнике неточность?
Прошу ответить, по возможности, попроще, т.к. я только еще начинаю вникать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один частный вопрос о диффеоморфных отображениях
Сообщение07.10.2019, 20:40 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10138
Neprofessional
Доллары нацепите на все обозначения, пож-ста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один частный вопрос о диффеоморфных отображениях
Сообщение07.10.2019, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5630
Возьмите в качестве примера диск без точки в комплексной плоскости: $D=\{z\in \mathbb C\colon 0<|z|<1\}$ и рассмотрите отображение $f(z)=z^2$. Далее, возьмите, например, $D_1=D\setminus i \mathbb  R_+$ и посмотрите, чему равна внутренность $f(D_1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один частный вопрос о диффеоморфных отображениях
Сообщение07.10.2019, 23:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2106
Neprofessional в сообщении #1419635 писал(а):
Где я допустил ошибку?

Здесь
Neprofessional в сообщении #1419635 писал(а):
так и точки, ему не принадлежащие

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.10.2019, 01:43 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10138
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.10.2019, 16:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
19500
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Один частный вопрос о диффеоморфных отображениях
Сообщение09.10.2019, 11:52 


01/07/19
19
Спасибо, g________d и DeBill, благодаря вашим объяснениям я понял, где ошибся.
А верно ли я понимаю, что если исключить предположение о взаимной однозначности между $G$ и $F(G)$, то вместо равенств $(46.39)$ и $(46.40)$ будут справедливы включения, соответственно, $F(E_i_n_t)\subset F(E)_i_n_t$ и $F(\partial E)\supset\partial F(E)$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group