Один частный вопрос о диффеоморфных отображениях

[Neprofessional]

В учебнике математического анализа Л.Д. Кудрявцева (трехтомник) наткнулся на абзац, который поставил меня в тупик. Вот этот абзац:



Никак не могу понять, зачем нужно дополнительное условие о взаимной однозначности отображения $G$ на $F(G)$ для справедливости $(46.39)$ и $(46.40)$. Автор нигде этого не поясняет. По-моему, это дополнительное условие просто лишнее. Вот ход моих мыслей для, например, $(46.40)$. Выберем произвольную точку $y$, принадлежащую границе множества $F(E)$. Поскольку $F$ локально диффеоморфно, у точки $y$ и любого ее прообраза $x$ существуют окрестности, которые взаимно однозначно отображаются друг в друга. Насколько бы малой ни взять такую окрестность точки $y$, эта окрестность содержит как точки, принадлежащие $F(E)$, так и точки, не принадлежащие $F(E)$, поскольку эта точка - граничная. Тогда и в соответствующей окрестности-прообразе точки $x$ (а эта окрестность, при наших условиях, будет бесконечно уменьшаться вслед за окрестностью точки $y$) тоже будут наличествовать как точки, принадлежащие множеству $E$, так и точки, ему не принадлежащие. Значит, точка $x$ будет граничной для множества $E$. Таким образом, граница множества $F(E)$ принадлежит образу границы множества $E$. Аналогичным путем, устремляя к нулю окрестность произвольной точки границы множества $E$, можно доказать, что образ границы множества $E$ принадлежит границе множества $F(E)$. Из доказанных двух включений следует формула $(46.40)$. Нигде в своем доказательстве я не использовал условие о взаимной однозначности отображения $G$ на $F(G)$.
Где я допустил ошибку? Или в учебнике неточность?
Прошу ответить, по возможности, попроще, т.к. я только еще начинаю вникать.

[Lia]

Neprofessional
Доллары нацепите на все обозначения, пож-ста.

[g______d]

Возьмите в качестве примера диск без точки в комплексной плоскости: $D=\{z\in \mathbb C\colon 0<|z|<1\}$ и рассмотрите отображение $f(z)=z^2$. Далее, возьмите, например, $D_1=D\setminus i \mathbb R_+$ и посмотрите, чему равна внутренность $f(D_1)$.

[DeBill]

Neprofessional в сообщении #1419635 писал(а):

Где я допустил ошибку?

Здесь

Neprofessional в сообщении #1419635 писал(а):

так и точки, ему не принадлежащие

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Neprofessional]

Спасибо, g________d и DeBill, благодаря вашим объяснениям я понял, где ошибся.
А верно ли я понимаю, что если исключить предположение о взаимной однозначности между $G$ и $F(G)$, то вместо равенств $(46.39)$ и $(46.40)$ будут справедливы включения, соответственно, $F(E_i_n_t)\subset F(E)_i_n_t$ и $F(\partial E)\supset\partial F(E)$ ?