Ещё гомологии

[Nickspa]

Снова необходимо вычислить последовательность Майера-Виеториса.
$X=S^3$, $K\subset X$ - узел.
$A\subset X$ - замкнутая окрестность $K$.
$B\subset X$ - замыкание $X\setminus A$.
$X=A\cup B$.
a) узел является окружностью;
б) трилистником

$A\cap B=T$ - тор, $A$ - гомотопно окружности, гомологии тора и окружности, а также сферы знаем. Неизвестны гомологии $B$.
Получаем
$0\to 0\oplus H_3(B)\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to 0\oplus H_2(B)\to 0$
$0\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to 0\oplus H_1(B)\to 0$
$0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus H_0(B)\to \mathbb{Z}\to 0$

Во-первых, нам рассказывали только про сингулярные гомологии, поэтому надо решать без симплициальных, клеточных и т.д.
Думаю, что $H_3(B)=0$, но как это показать?
Является ли $B$ линейно связным? На $S^2$ окружность разобьёт на две компоненты. Здесь, думаю, не так, но опять как показать?
Ну и как быть с первыми и вторыми гомологиями?
И в чем разница между а и б?
Может кто помочь?

[Nickspa]

Нашёл указание к задаче в случае а.
$S^3=\mathbb{R}^3\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$
$K=l \cup \left\lbrace \infty \right\rbrace, l$ - прямая в $\mathbb{R}^3$.
Но ни сильно помогает. Единственная мысль - это взять из точки ($\left\lbrace \infty \right\rbrace$) на сфере стереографическую проекцию на $\mathbb{R}^3$.
Тогда $A=(\mathbb{R}^3\setminus (S^2 \cup S^2))\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace,B=(S^2 \cup S^2)\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$ (если не заблуждаюсь). И что с этим делать?

[Nickspa]

В $B$, конечно, объединение не сфер, а шаров и бесконечной точки. И в
$A$ также

[vpb]

Мне сначала казалось, что указание ни при чем, и всё действительно можно посчитать, зная лишь гомологии тора. Оказалось не так (век живи, век учись).

Возьмем, действительно, какую-то точку на $K$, и объявим ее точкой $\infty$. Заметим, что $S^3-K=(S^3-\{x\})-(K-\{x\})$. (Тут я решил обозначать разность множеств просто минусом; так иногда делают, особо в топологии, емнип). Рассмотрим стереографическую проекцию из $S^3-\{x\}$ на ${\mathbb R^3}$. Она, конечно, является гомеоморфизмом. При этом $K-\{x\}$ перейдет в некоторый узел в ${\mathbb R}^3$ "с концами на бесконечности", обозначим его $L$. А $S^3-K$ гомеоморфно отображается на ${\mathbb R}^3-L$, стало быть, достаточно посчитать гомологии ${\mathbb R}^3-L$. Теперь возьмем тонкую трубочку вокруг $L$, обозначим ее $C$, скажем. Это бесконечный цилиндр. Пусть $A$ --- её внутренность, а $B$ --- внешность, так что $A\cap B=C$. Геометрически понятно, что $B$ --- деформационный ретракт для ${\mathbb R}^3-L$, поэтому у них одинаковые гомологии. И дальше надо написать соотвествующую последовательность.

(В частности увидим, что дополнение к любому узлу имеет одни и те же гомологии, так что разницы между окружностью и трилистником на уровне гомологий действительно не обнаруживается. Она появляется, если рассмотреть фундаментальную группу. Подробности см. в 4-й главе в Масси, Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. )

-- 07.10.2019, 23:49 --

Nickspa в сообщении #1419321 писал(а):

Является ли $B$ линейно связным? На $S^2$ окружность разобьёт на две компоненты. Здесь, думаю, не так, но опять как показать?

Думаю, в данном контексте никак. Просто сослаться на геометрическую очевидность. Можно и строго показать, если, скажем, ограничиться кусочно-линейными или гладкими узлами, но тут не об этом речь.

[Nickspa]

$A$ - бесконечный полноторий, томотопен точке
$(A\cap B)\sim S^1, (A\cup B)=\mathbb{R}^3\sim pt$.
$0\to H_3(B)\to 0 \to 0\to H_2(B)\to 0\to \mathbb{Z}\to H_1(B)\to 0$
$H_3(B)=H_2(B)=0,H_1(B)=\mathbb{Z}$
Верно получилось?

[vpb]

Да, вполне.