2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ещё гомологии
Сообщение06.10.2019, 00:24 


09/12/16
146
Снова необходимо вычислить последовательность Майера-Виеториса.
$X=S^3$, $K\subset X$ - узел.
$A\subset X$ - замкнутая окрестность $K$.
$B\subset X$ - замыкание $X\setminus A$.
$X=A\cup B$.
a) узел является окружностью;
б) трилистником

$A\cap B=T$ - тор, $A$ - гомотопно окружности, гомологии тора и окружности, а также сферы знаем. Неизвестны гомологии $B$.
Получаем
$0\to 0\oplus H_3(B)\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to 0\oplus H_2(B)\to 0$
$0\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to 0\oplus H_1(B)\to 0$
$0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus H_0(B)\to \mathbb{Z}\to 0$

Во-первых, нам рассказывали только про сингулярные гомологии, поэтому надо решать без симплициальных, клеточных и т.д.
Думаю, что $H_3(B)=0$, но как это показать?
Является ли $B$ линейно связным? На $S^2$ окружность разобьёт на две компоненты. Здесь, думаю, не так, но опять как показать?
Ну и как быть с первыми и вторыми гомологиями?
И в чем разница между а и б?
Может кто помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё гомологии
Сообщение06.10.2019, 15:52 


09/12/16
146
Нашёл указание к задаче в случае а.
$S^3=\mathbb{R}^3\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$
$K=l \cup \left\lbrace \infty \right\rbrace, l$ - прямая в $\mathbb{R}^3$.
Но ни сильно помогает. Единственная мысль - это взять из точки ($\left\lbrace \infty \right\rbrace$) на сфере стереографическую проекцию на $\mathbb{R}^3$.
Тогда $A=(\mathbb{R}^3\setminus (S^2 \cup S^2))\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace,B=(S^2 \cup S^2)\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$ (если не заблуждаюсь). И что с этим делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё гомологии
Сообщение06.10.2019, 17:17 


09/12/16
146
В $B$, конечно, объединение не сфер, а шаров и бесконечной точки. И в
$A$ также

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё гомологии
Сообщение08.10.2019, 00:45 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Мне сначала казалось, что указание ни при чем, и всё действительно можно посчитать, зная лишь гомологии тора. Оказалось не так (век живи, век учись).

Возьмем, действительно, какую-то точку на $K$, и объявим ее точкой $\infty$. Заметим, что $S^3-K=(S^3-\{x\})-(K-\{x\})$. (Тут я решил обозначать разность множеств просто минусом; так иногда делают, особо в топологии, емнип). Рассмотрим стереографическую проекцию из $S^3-\{x\}$ на ${\mathbb R^3}$. Она, конечно, является гомеоморфизмом. При этом $K-\{x\}$ перейдет в некоторый узел в ${\mathbb R}^3$ "с концами на бесконечности", обозначим его $L$. А $S^3-K$ гомеоморфно отображается на ${\mathbb R}^3-L$, стало быть, достаточно посчитать гомологии ${\mathbb R}^3-L$. Теперь возьмем тонкую трубочку вокруг $L$, обозначим ее $C$, скажем. Это бесконечный цилиндр. Пусть $A$ --- её внутренность, а $B$ --- внешность, так что $A\cap B=C$. Геометрически понятно, что $B$ --- деформационный ретракт для ${\mathbb R}^3-L$, поэтому у них одинаковые гомологии. И дальше надо написать соотвествующую последовательность.

(В частности увидим, что дополнение к любому узлу имеет одни и те же гомологии, так что разницы между окружностью и трилистником на уровне гомологий действительно не обнаруживается. Она появляется, если рассмотреть фундаментальную группу. Подробности см. в 4-й главе в Масси, Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. )

-- 07.10.2019, 23:49 --

Nickspa в сообщении #1419321 писал(а):
Является ли $B$ линейно связным? На $S^2$ окружность разобьёт на две компоненты. Здесь, думаю, не так, но опять как показать?

Думаю, в данном контексте никак. Просто сослаться на геометрическую очевидность. Можно и строго показать, если, скажем, ограничиться кусочно-линейными или гладкими узлами, но тут не об этом речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё гомологии
Сообщение11.10.2019, 00:19 


09/12/16
146
$A$ - бесконечный полноторий, томотопен точке
$(A\cap B)\sim S^1, (A\cup B)=\mathbb{R}^3\sim pt$.
$0\to H_3(B)\to 0 \to 0\to H_2(B)\to 0\to \mathbb{Z}\to H_1(B)\to 0$
$H_3(B)=H_2(B)=0,H_1(B)=\mathbb{Z}$
Верно получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё гомологии
Сообщение11.10.2019, 08:50 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Да, вполне.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group