Гомологии

[Nickspa]

Nickspa в сообщении #1419231 писал(а):

$\left\lbrace c\right\rbrace\approx \mathbb{Z}, \left\lbrace b\right\rbrace\approx \mathbb{Z}_2$.
Значит, образ третьей стрелки $\approx \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2$. Верно или нет?

Ошибся. $\left\lbrace b\right\rbrace\approx \mathbb{Z}$.
Образ третьей стрелки изоморфен подгруппе порожденной $c,d$.
А вот рассуждения про факторизацию при поиске образа четвёртой стрелки как написал и образ $\mathbb{Z}_2$.
Так верно?

[Nickspa]

Nickspa в сообщении #1419236 писал(а):

Образ третьей стрелки изоморфен подгруппе порожденной $c,d$.

порождённой $c,b$, конечно

[Nickspa]

В общем, (если верны предыдущие рассуждения) получается следующее:
$ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$
Где образ первой стрелки и ядро второй $\mathbb{Z}_2$.
Как узнать образ второй стрелки?

[Nickspa]

Хочется пойти с правого конца.
Ядро последней стрелки $\mathbb{Z}$, это и образ предпоследней.
Верно ли, что ядром предпоследней будет $\mathbb{Z}$?
Ведь не обязательно, если образом группы $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ является $\mathbb{Z}$, то и ядром будет $\mathbb{Z}$?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1419236 писал(а):

Ошибся. $\left\lbrace b\right\rbrace\approx \mathbb{Z}$.
Образ третьей стрелки изоморфен подгруппе порожденной $c,d$.
А вот рассуждения про факторизацию при поиске образа четвёртой стрелки как написал и образ $\mathbb{Z}_2$.
Так верно?

Да, вот так верно.

Nickspa в сообщении #1419317 писал(а):

Ведь не обязательно, если образом группы $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ является $\mathbb{Z}$, то и ядром будет $\mathbb{Z}$?

Как раз обязательно. Если $f\colon X\longrightarrow Y$ --- сюръективный гомоморфизм абелевых групп, $X\cong{\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$ и $Y\cong{\mathbb Z}$, то ядро тоже $\cong{\mathbb Z}$.

Вообще, вы, кажется, путаетесь в алгебре, конкретно в абелевых группах. Вам желательно узнать некоторые базовые вещи про конечно-порожденные абелевы группы. Например, то, что любая подгруппа в свободной абелевой группе тоже свободна, и структурную теорему (что любая конечно-порожденная а.г. --- прямая сумма циклических). И еще некоторые вещи. Это написано в Винберге, в 9-й главе 1-й параграф. И в книжке Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп тоже, в соответствующем месте.

-- 06.10.2019, 00:18 --

Nickspa в сообщении #1419309 писал(а):

Как узнать образ второй стрелки?

Выписать гомоморфизмы между нулевыми группами гомологий (с правого конца последовательности) в явном виде. Что несложно, так как порождающие нулевой группы гомологий к.-л. пространства --- это его компоненты линейной связности. Найти затем образы, ядра этих гомоморфизмлв и т.д.

[Nickspa]

Nickspa в сообщении #1419317 писал(а):

$ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$

Получается ядро первой (справа) = образ второй, т.е. $\mathbb{Z}$

vpb в сообщении #1419325 писал(а):

Как раз обязательно

Значит, ядро второй, оно же образ третьей, также $\mathbb{Z}$.
Но ведь, таким же образом, ядро третьей - $\mathbb{Z}$. Верно?
А значит, и образ четвёртой $\mathbb{Z}$.

vpb в сообщении #1419214 писал(а):

Полезно доказать такое утверждение: если абелева группа содержит подгруппу, изоморфную ${\mathbb Z}_2$, а фактор по этой подгруппе изоморфен ${\mathbb Z}$, то вся группа изоморфна ${\mathbb Z}_2\oplus {\mathbb Z}$.

Вот тут оно и полезно. Получаем $H_1(K)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2$. Правильно?

vpb в сообщении #1419325 писал(а):

Выписать гомоморфизмы между нулевыми группами гомологий

Здесь, получается, можно без этого обойтись?
Но всё-таки. Третья стрелка переводит элемент (1,0) в (1,1) (т.к. переводит первую окружность в оба цилиндра), и элемент (0,1) - в (1,1). Матрица

$$\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1& 1 \\ \end{pmatrix}$$

Ранг у неё один, значит в образе третьей стрелки будет одно циклическое слагаемое. Поэтому образ $\mathbb{Z}$. Верные рассуждения?

-- 06.10.2019, 09:17 --

vpb в сообщении #1419325 писал(а):

Вообще, вы, кажется, путаетесь в алгебре, конкретно в абелевых группах

Да, сталкиваюсь. Поэтому и стараюсь разобраться. Причем, те утверждения, что Вы назвали, знаю. Винберга читал. Но вот здесь вопросы возникают.
Например. $X/A\approx B$. Означает ли это, что $X=A\oplus B$?

vpb в сообщении #1419214 писал(а):

Полезно доказать такое утверждение: если абелева группа содержит подгруппу, изоморфную ${\mathbb Z}_2$, а фактор по этой подгруппе изоморфен ${\mathbb Z}$, то вся группа изоморфна ${\mathbb Z}_2\oplus {\mathbb Z}$.

Это, наверное, доказывается прямым построением изоморфизма? Или как-то проще можно?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1419339 писал(а):

А значит, и образ четвёртой $\mathbb{Z}$.

Да.

Nickspa в сообщении #1419339 писал(а):

Вот тут оно и полезно. Получаем $H_1(K)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2$. Правильно?

Да.

Nickspa в сообщении #1419339 писал(а):

Здесь, получается, можно без этого обойтись?

Да, можно и так рассуждать.

Nickspa в сообщении #1419339 писал(а):

Ранг у неё один, значит в образе третьей стрелки будет одно циклическое слагаемое. Поэтому образ $\mathbb{Z}$

Да, верно.

Nickspa в сообщении #1419339 писал(а):

Например. $X/A\approx B$. Означает ли это, что $X=A\oplus B$?

Вообще говоря, нет. Это верно только в том случае, если $B$ свободна. (Или, более общо, проективна, т.е. является прямым слагаемым в некоторой свободной группе. Впрочем, для конечно порожденных абелевых групп свобода и проективность --- это одно и то же. Но вам это знать не обязательно.)
Например, в случае, когда $B\cong{\mathbb Z}$. Данное утверждение (для случая $B\cong{\mathbb Z}$) легко доказать самостоятельно, именно прямым построением изоморфизма.

[vpb]

Еще рекомендую, после того как доделаете эту задачу, посчитать аналогичным образом гомологии тора. А также сферы $S^3$. (Можно и сферы любой размерности). Это будет нужно для следующей задачи. А браться за гомологии дополнения к трилистнику раньше, чем эти посчитаете, смысла (и возможности) нет.

[Nickspa]

$S^n$ посчитали на лекции. Тор посчитал. Насколько смог применил в https://dxdy.ru/topic136889.html. Но дальше там тупик у меня.

(Оффтоп)

Из других задач, вроде, получились $\mathbb{R}P^2$ (с коэффициентами в $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2, \mathbb{R}$), тор с дыркой, сфера с $g$ ручками

[Munin]

$\mathbb{R}P^3,\mathbb{C}P^1,\mathbb{C}P^2$ :-)

[Nickspa]

Munin в сообщении #1419552 писал(а):

$\mathbb{R}P^3,\mathbb{C}P^1,\mathbb{C}P^2$

Пока таких задач не ставилось, но, думаю, появятся

-- 10.10.2019, 02:24 --

Раз уж сказал про тор с дыркой, то возник такой вопрос.
Из последовательности Майера-Виеториса у меня получилось, что одномерный цикл вокруг дырки "стягивается". Не могу геометрически представить как. Вроде, это должна образоваться новая образующая. Может есть картинка какая, или видео? Или пояснит кто-то как это происходит?

[Munin]

Nickspa в сообщении #1420029 писал(а):

Пока таких задач не ставилось

Я подумал, вам интересно самому потренироваться.