Объединение подпространств

[mihaild]

Munin в сообщении #1417815 писал(а):

Но как я понимаю, если к подкольцу $\mathbb{Z}$ присоединять единицу, то само $\mathbb{Z}$ тоже превратится во что-то другое.

Да, в нем как минимум делители нуля появятся.

[Munin]

А можно минимальный пример

$$\xymatrix{n\mathbb{Z}\ar@{^{(}->}[r]\ar@{^{(}->}[d]&(n\mathbb{Z})^1\ar@{^{(}->}[d]\\\mathbb{Z}\ar@{^{(}->}[r]&?}$$

[arseniiv]

Munin в сообщении #1417815 писал(а):

А, подкольца без единицы - дело совсем другое :-)

Ну и как вы их например выразите через морфизмы колец с единицей? А если взять просто кольца, это будут обычные подобъекты.

[Sdy]

arseniiv в сообщении #1417754 писал(а):

Где-то так, да. Для всех полей кроме такого «поля» 0 выходит необратимым, а тут вот как — и если кольца без обязательно существующей единицы рассматривать часто полезно — и среди колец потому нулевое кольцо весьма к месту — то для полей она обязательна, и потому это «нулевое поле» резко оказывается в одиночестве

Спасибо за проверку.

Munin в сообщении #1417750 писал(а):

Это поле не является кольцом с единицей

Спасибо за ответ. Меня просто больше интересует именно логическая подоплека того, почему это стоит именно постулировать.
Тут я так понимаю потому что мы хотим чтобы элементы любого поля "вели себя" как числа рациональные (быть может, вещественные, но это для меня куда более сложный объект), а значит нуль и единица должны быть различимы, иначе, например, при определении некоторых структур "над" полем (того же векторного пространства) придется постоянно разбирать отдельно этот случай.

[Munin]

Это абстрактные желания, а причина в том, что где-то в дебрях стандартных выкладок используется то или иное конкретное свойство. Например, где-то вам захочется поделить на 2, и вы сразу должны оговорить $\operatorname{char}F\ne 2.$

Где именно используется $F^*\ne F,$ я наизусть не знаю.