Объединение подпространств

[Sdy]

Утверждение.
Пусть $V$ - векторное пространство над полем $F$.
Объединение трёх подпространств $U_1, U_2, U_3$ векторного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда одно из них содержит два других.

Для начала докажем более слабое утверждение.
Объединение двух подпространств векторного пространства является векторным пространством тогда и только тогда, когда одно из них содержится в другом.
Доказательство.
Для начала докажем $\Leftarrow$. Пусть, без ограничения общности, $U_1 \subset U_2$. Но тогда $U_1 \cup U_2 = U_2$, а $U_2$ по условию - подпространство.
Теперь докажем $\Rightarrow$. Предположим, что они не вложены друг в друга, тогда возьмём элемент $u \in U_1 \setminus U_2$ и $v \in U_2 \setminus U_1$. Рассмотрим их сумму $u+v$. Если она принадлежит $U_1$, то ему же принадлежит и $u+v+(-u)=v$, что противоречит тому что мы $v$ брали из $U_2 \setminus U_1$. Тоже противоречие и если предположить, что $u+v$ принадлежит $U_2$. Но тогда получается, что $U_1 \cup U_2$ незамкнуто по сложению, а по предположению это было подпространство. Противоречие.

Теперь докажем исходное утверждение.
1)$\Leftarrow$. Без ограничения общности можно считать, что $U_1 \subset U_3 \wedge U_2 \subset U_3$, но тогда $U_1 \cup U_2 \cup U_3 = U_3$, а оно - подпространство по условию.

2)$\Rightarrow$.
Возможны два случая, когда ни одно из них не содержит два другие.
Может быть, что первое является подмножеством второго, а третье - нет, но этот случай мы доказали уже выше.
Тогда второй случай - ни одно из множеств не содержит другое в качестве подмножества.
Если в качестве $F$ рассматривать $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, то я могу поступить так.
Возьмём $u \in U_1 \setminus (U_2 \cup U_3)$, $v \in U_2 \setminus (U_1 \cup U_3)$. Рассмотрим сумму $5u+4v$. Она может лежать только в $U_3$. Тоже и для суммы $6u+4v$. Но тогда в $U_3$ лежит и $5u+4v+(-1)(6u+4v)$, а значит лежит и $u$, но это противоречит тому что $u$ лежит в $U_1 \setminus (U_2 \cup U_3)$. Значит они там не лежат, но это означает, что мы пришли к противоречию и утверждение доказано.

Проблемы.
Это первое задание из цикла задач по подпространствам в моей книге Axler, Linear Algebra Done Right, где мне пришлось привлечь тот факт, что под $F$ я понимаю не произвольное поле, а именно множество вещественных или комплексных чисел.
Сначала я усиленно пытался доказать, что это верно в общем случае, но не сумел.
К заданию была помарка This exercise is surprisingly harder than the previous exercise, possibly because this exercise is not true if we replace F with a field containing
only two elements. Но когда я начал искать решение в интернете, оказалось, что я нахожу только опровержения этого утверждения, которые содержат материал, который еще в книге представлен не был - линейная оболочка, размерность.
Правильно ли я понимаю, что даже для того чтобы доказать, что данное утверждение неверно когда $F = \{0,1\}$ нужно привлекать эти понятия, которые, будут в книге только дальше, или же можно доказать это, используя только свойства векторного пространства, его аксиомы и свойства векторного подпространства?

[arseniiv]

Контрпример легко построить. Пусть действительно $F = F_2$ и пусть в нашем пространстве найдутся два линейно независимых вектора $u, v$ (так что и ненулевых, ведь нулевой делает набор любых векторов зависимым). Тогда $U_1 = \{0, u\}$, $U_2 = \{0, v\}$, $U_3 = \{0, u + v\}$ — подпространства, и тогда их объединение $\{0, u, v, u+v\}$ тоже подпространство. (Проверьте.)

Эти четыре подпространства — линейные оболочки $\langle u\rangle, \langle v\rangle, \langle u+v\rangle, \langle u, v\rangle$, но нам не пришлось говорить в таких терминах.

-- Вт сен 24, 2019 00:49:37 --

А вот сможете ли вы теперь сделать доказательство для произвольного $F\ne F_2$?

-- Вт сен 24, 2019 00:51:46 --

Можно пользоваться примерно тем же: плоскости получаются «недостаточно маленькие», чтобы получать их объединениями прямых. Хотя если увеличить число объединяемых подпространств, поддадутся любое конечное поле и любая конечная размерность…

[Sdy]

arseniiv, спасибо за ответ.
Линейной зависимости также еще не было, только в следующем пункте будет. Я то про нее конечно знаю, но упражнение всё-таки дано раньше, чем об этом говорится.

[arseniiv]

М-м. Ну можно переформулировать без её упоминания, сильно длиннее не станет, тем более это ведь контрпример, а не то, что вам предлагали доказать.

[Sdy]

arseniiv в сообщении #1416955 писал(а):

их объединение $\{0, u, v, u+v\}$ тоже подпространство.

Я правильно понимаю, что $u+u = (1+1)u = 0$?

[vpb]

Sdy в сообщении #1416952 писал(а):

тобы доказать, что данное утверждение неверно когда $F = \{0,1\}$

Этот оборот в неправильную сторону мысль направляет. Не "доказать что неверно", а "показать на примере, что неверно". А пример, конечно, тривиальный: пространство пар $(x,y)$, с покомпонентным сложением и умножением на скаляр (т.е. на элемент поля). Три множества $V_1=\{ (0,0), (0,1)\}$, $V_2=\{ (0,0), (1,0)\}$, $V_3=\{ (0,0), (1,1)\}$ --- подпространства, а их объединение --- всё пространство.

Sdy в сообщении #1416952 писал(а):

или же можно доказать это, используя только

Ну вот видите, я же привел пример. Никаких понятий типа "размерность" или "линейная зависимость" использовано не было. Только определение того, что такое пространство и подпространство. (Но, вообще говоря, ограничивать себя в использовании тех или иных утверждений и понятий из-за того, что в книжке об этом еще не говорилось --- неправильно. Если бы пришлось преподавать другим людям --- тогда да. А так нет. )

-- 23.09.2019, 22:29 --

Sdy в сообщении #1416964 писал(а):

Я правильно понимаю, что $u+u = (1+1)u = 0$?

Конечно.

[Sdy]

vpb, спасибо, arseniiv
привёл тот же пример, и я его уже проверил. Как то я однобоко пытался привести свои рассуждения для построения примера, получается всё и правда просто.

arseniiv в сообщении #1416955 писал(а):

А вот сможете ли вы теперь сделать доказательство для произвольного $F\ne F_2$?

Можете сформулировать утверждение полностью? Тогда в следующий раз начну с него.

-- 24.09.2019, 05:52 --

vpb в сообщении #1416971 писал(а):

Но, вообще говоря, ограничивать себя в использовании тех или иных утверждений и понятий из-за того, что в книжке об этом еще не говорилось --- неправильно. Если бы пришлось преподавать другим людям --- тогда да. А так нет.

Просто в таком случае я не могу быть уверен, что полностью усвоил материал глав, ведь не смог его везде применить. К этому утверждению в общем виде я хотел вернуться позже, здесь как раз про это уточнял. Но если и общий пример не привлекает сторонних рассуждений, то конечно мне нужно попытаться.

[arseniiv]

Sdy в сообщении #1416989 писал(а):

Можете сформулировать утверждение полностью? Тогда в следующий раз начну с него.

Вот это, то, что вы изначально доказывали:

Sdy в сообщении #1416952 почти писал(а):

Пусть $V$ - векторное пространство над полем $F$ [и в $F$ больше двух элементов — наше добавление].
Объединение трёх подпространств $U_1, U_2, U_3$ векторного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда одно из них содержит два других.

[Sdy]

arseniiv в сообщении #1416955 писал(а):

А вот сможете ли вы теперь сделать доказательство для произвольного $F\ne F_2$?

Утверждение. Если $V$ - векторное пространство над $F \ne F_2$ ; $U_1, U_2, U_3$ - его подпространства, то $U_1 \cup U_2 \cup U_3$ является подпространством тогда и только тогда, когда одно из них содержит два другие в качестве подмножества.
Доказательство.
1)$\Leftarrow$. Пусть, без ограничения общности, $(U_1 \subset U_3) \wedge (U_2 \subset U_3) \Rightarrow U_1 \cup U_2 \cup U_3 = U_3$, но $U_3$ является векторным подпространством по условию.
2)$\Rightarrow$. Пусть теперь $U_1 \cup U_2 \cup U_3$ - подпространство, тогда нужно доказать, что одно из них обязательно содержит два другие как подмножества.
Предположим противное, пусть ни одно из них не содержит два другие как подмножества. Тогда возможны два случая:
2.1)Пусть только одно из них содержится в другом как подмножество. Без ограничения общности, $(U_1\subset U_3) \wedge (U_2 \not\subset U_3)$. Тогда возьмём элемент $(u_3 \in U_3\setminus U_2) \wedge (u_2 \in U_2 \setminus U_3)$. Рассмотрим их сумму. Она не может лежать в $U_3$ (соответственно и в $U_1$), так как иначе $u_2$ будет лежать в $U_3$ и не может лежать в $U_2$, так как иначе $u_3$ ляжет в $U_2$. Противоречие.
2.2)Пусть ни одно из них не лежит в другом как подмножество.
Тогда воспользуемся тем, что $F \ne F_2$. Если в $F$ лежит не только $0$ и $1$, то в нём лежит какой-то $a \ne 0 \wedge a \ne 1$. Значит лежит и $-1+a$ и $a-1$.
Теперь рассмотрим элемент $u_1 \in U_1\setminus (U_2 \cup U_3)$ и элемент $u_2 \in U_2\setminus (U_1 \cup U_3)$.
Взглянем на их сумму $u_1 + u_2$. Она не может лежать в $U_1$ и не может лежать в $U_2$, но тогда лежит в $U_3$.
Затем возьмём сумму $(a-1)u_1 + (-1)u_2$. Опять же, она может лежать только в $U_3$. Но значит в $U_3$ лежит и сумма $u_1+u_2+(a-1)u_1-u_2 = au_1$. Но тогда в $U_3$ лежит и $\frac{1}{a}au_1 = u_1$. Получили противоречие.$\triangle$.

Значит, чтобы объединение трех подпространств было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы одно из них содержало два другие как подмножества.

[Sdy]

Добавление.
Задался вопросом, а почему если $F \ne F_2$, то $F$ обязательно шире $F_2$, то есть почему не может быть так, что $F = \{\{0\}, +, \cdot\}$.
Понял, что если не требовать того чтобы $0 \ne 1$, то множество $\{0\}$ в принципе нам подойдет. Но при этом присовокупить туда еще какой-нибудь элемент не получится (предполагаем обратное, пусть там лежит еще $a$, значит лежит и $-a$, берём свойство $(y+x)z = zy+zx$, полагаем там $y=0 \wedge x = a \wedge z = -a$ и видим что оно верно только если $a=0$).
Тогда я загляну в Кострикина, а затем в Dummit и увидел ($Axler$ об этом не говорил), что это свойство ($0 \ne 1$) именно постулируется.
Я правильно понимаю, что оно постулируется потому что по-хорошему это самое поле $F = \{\{0\}, +, \cdot\}$ с $0 = 1$ противоречит здравой логике и обычным правилам арифметики? Или есть еще какие-то причины?

[Munin]

Sdy в сообщении #1417708 писал(а):

почему не может быть так, что $F = \{\{0\}, +, \cdot\}$.

Это поле не является кольцом с единицей.

Есть ещё такая необычная штука, как "поле из одного элемента", но это на будущее.

[arseniiv]

Sdy
Где-то так, да. Для всех полей кроме такого «поля» 0 выходит необратимым, а тут вот как — и если кольца без обязательно существующей единицы рассматривать часто полезно — и среди колец потому нулевое кольцо весьма к месту — то для полей она обязательна, и потому это «нулевое поле» резко оказывается в одиночестве.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1417754 писал(а):

и если кольца без обязательно существующей единицы рассматривать часто полезно

Я слышал (от Вавилова), что к любому кольцу без единицы можно добавить единицу, и поэтому ничего нового в кольцах без единицы нет.

[arseniiv]

Ну вот у $\mathbb Z$ как кольца без единицы куча подколец $n\mathbb Z$, вообще в таком смысле идеал будет подкольцом, а если говорить лишь о кольцах с единицей, не будет.

Видимо, по тем же причинам часто рассматривают полугруппы вместо моноидов: дополнить полугруппу-не-моноид нейтральным элементом проще простого: вводим элемент и доопределяем операцию, чтобы был нейтральным. Правда, если он уже был, так не сделаешь, так что это конструкция «неравномерная».

Кстати, поначалу мне показалось, что к кольцу тоже предлагается добавлять лишь один элемент, а ведь этого будет недостаточно почти никогда, и мы получим наверняка совсем-совсем другое кольцо. По-моему тут что-то нечисто.

[Munin]

А, подкольца без единицы - дело совсем другое :-)

arseniiv в сообщении #1417798 писал(а):

Кстати, поначалу мне показалось, что к кольцу тоже предлагается добавлять лишь один элемент

Нет, там добавляется куча элементов:

Цитата:

• Присоединение $1.$ Пусть $R$ любое кольцо, вообще говоря, без $1.$ Рассмотрим кольцо $R_1,$ которое совпадает с $\mathbb{Z}\oplus R$ как аддитивная группа, с умножением, определенным равенством


$$(m,x)(n,y) = (mn,my+nx+xy).$$

Легко видеть, что $R_1$ кольцо с $1.$ Про него говорят, что оно получается из $R$ присоединением $1.$ Эта конструкция сводит все вопросы о кольцах без $1$ к соответствующим вопросам для колец с $1.$

Но как я понимаю, если к подкольцу $\mathbb{Z}$ присоединять единицу, то само $\mathbb{Z}$ тоже превратится во что-то другое.